Questions de Cours
1. Prouver que la fonction f(x) = x2 est d ́erivable sur R et que f′(x) = 2x.
2. Prouver que si f est une fonction continue sur un intervalle I avec x0 ∈ I et y0 ∈ R alors il existe une unique primitive F de f sur I v ́erifiant la condition initiale F(x0) = y0 (on admet qu’une fonction continue poss`ede des primitives).
Exercice 1
Pour chacune des quatre affirmations ci-dessous dire si celle-ci est Vraie ou Fausse, une r ́e- ponse juste rapporte 1 point et une r ́eponse fausse retire un point, l’absence de r ́eponse ne retire ni ne rapporte aucun point. L’exercice est not ́e de 0 `a 4.
Soit f la fonction d ́efinie sur R par : f(x)=x2 +3x+2
1. Il existe une primitive F de f sur [0; 1] telle que F (0) = −1.
2. Il existe une primitive F de f sur [0; 1] telle que F (1) = F (0). 3. Il existe une primitive F de f strictement d ́ecroissante sur [0; 1]. 4. Il existe une primitive F de f strictement n ́egative sur [0; 1].
Exercice 2
On consid`ere la fonction f d ́efinie sur R par : f(x)= 1−x
1+x2
1. Montrer que la fonction f est d ́erivable sur R et calculer f′(x). 2. En d ́eduire les variations de la fonction f.
3. On appelle C la courbe repr ́esentative de la fonction f.
(a) D ́eterminer les asymptotes `a la courbe C.
(b) D ́eterminer les tangentes horizontales `a la courbe C.
(c) D ́eterminer l’ ́equation de la tangente T0 `a la courbe C en x = 0.
(d) D ́eterminer la position relative de la courbe C par rapport `a la droite T0.
(e) Construire la courbe C dans un rep`ere orthogonal avec pour unit ́es 1 cm en abs- cisse et 10 cm en ordonn ́ee, faire figurer sur le graphique les tangentes ainsi que les asymptotes.
Sujet Droit Devoir de Math ́ematiques n◦2 Exercice 3
On consid`ere une fonction f d ́efinie et d ́erivable sur [0; +∞[ solution de l’ ́equation diff ́eren- tielle f′(x) − [f(x)]2 = 0 , x 0 avec la condition initiale f(0) = 1.
1. Prouver que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0; +∞[.
2. En d ́eduire que la