correction BB1.dviTerm Gén, spécialité mathématiques
Devoir de mathématiques de type bac du 22 novembre 2021
Durée 4 heures
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements constituent un objectif majeur pour les épreuves de mathématiques et entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
La calculatrice est autorisée, son usage est personnel. Toute calculatrice programmable devra être mise en mode examen au début de l’épreuve.
Exercice 1 : 5 points
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u2 = 0,75u1(1−0,15u1) = 0,75×0,4095(1−0, 15×0,4095) = 0,307125(1−0,061425) = 0,307125×0,938575 ≈ 0,288.
On en déduit qu’au début de l’année 2022, il y a environ 288 individus présents sur l’île.
2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par f (x) = 0,75x(1−0,15x).
(a) Montrer que la fonction f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1] et dresser son tableau de variations.
Pour tout x de [0;1], f (x) = 0,75x −0,1125x2 . f est dérivable sur [0;1] comme restriction d’une fonction polynôme et, pour tout x de [0;1], f ′(x) = 0,75−0,225x. x 7−→−0,225x +0,75 est une fonction affine de coefficient en x strictement négatif et qui s’annule en
0,75
0,225
=
10
3
.
10
3
> 1, on en déduit que, pour tout x de [0;1], f ′(x) > 0. La fonction f est donc strictement …afficher plus de contenu…

On a donc f (0)6 f (un+1)6 f (un )6 f (1), à savoir 06 un+2 6 un+1 6 0,6375.
On a donc bien 06 un+2 6 un+1 6 1 ce qui assure que Pn+1 est vraie.
D’après le principe de récurrence, pour tout n de N, 06 un+1 6 un 6 1. ii. En déduire que la suite (un ) est convergente.
On vient d’établir que, pour tout n de N, un+1 6 un et 06 un , la suite (un ) est donc décroissante et minorée par 0. Le théorème de convergence monotone permet alors de conclure que cette suite est convergente.
De plus, comme, pour tout n de N, 06un 6 1, lim