4 février 2009 DS 6 (2 heures)

Calculatrice interdite Les téléphones portables doivent être éteints, et se trouver sur la table. Il est interdit de sortir pendant le devoir. Exercice 1 (5 points) Pour chacune des fonctions ci-dessous, donner les ensembles sur lequel f est dérivable. Calculer f ' ( x) . 1. 2. 3. 4. 5.

f ( x)  5 x 3  2 x 2  3 x  5

x4 1  4 x 5  2x f ( x)  2 3x  1 f ( x)  ( x 2  1) x f ( x)  tan(x) f ( x) 

Exercice 2 (6 points) Un fermier décide de réaliser un poulailler (en forme rectangulaire) le long du mur de sa maison. Ce poulailler devra avoir une aire de 392 m2. Afin de minimiser le coût, ce fermier cherche la longueur minimale de clôture nécessaire à la réalisation du poulailler. Il ne dispose en tout que de 100 m de clôture.

La figure ci-dessus représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle x la distance séparant chaque piquet au mur et y la distance entre les 2 piquets A et B. (On a donc x  0 et y  0 ) 1. Sachant que l’aire du poulailler est 392 m², exprimer y en fonction de x. 2. Démontrer que la longueur l(x) du grillage est l ( x) 

3. Calculer la dérivée l  de l. En déduire le tableau de variations de l sur l’intervalle ] 0 ; 100]. 4. En déduire les dimensions x et y pour lesquelles la clôture a une longueur minimale. Préciser cette longueur. Aide aux calculs : 392  2  14 2 Exercice 3 (2 points) (Toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation de l’exercice) Soient f et g deux fonctions dérivables sur l’intervalle I = 0;1 telles que : f (0)  g (0) et f   g  sur I. Démontrer que f  g sur I. (On pourra étudier les variations de g  f ).
[]

2 x 2  392 .