devoirs
Énoncé
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par la fonction définie sur par :
.
On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
Partie A
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe où k est un entier naturel non nul, sa tangente au point d'abscisse 1 et la courbe .
La droite coupe l'axe des abscisses au point A de coordonnées .
Zoom
1.
a) Déterminer les limites de la fonction en et en .
b) Étudier les variations de la fonction et dresser le tableau de variations de .
c) À l'aide du graphique, justifier que k est un entier supérieur ou égal à 2.
2.
a) Démontrer que pour , toutes les courbes passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées.
b) Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, et pour tout réel x :
.
3. Sur le graphique, la fonction semble admettre un maximum atteint pour .
Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
4.
a) Démontrer que la droite coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées .
b) En déduire, à l'aide des données de l'énoncé, la valeur de l'entier k.
Partie B
On désigne par la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par .
1. Calculer .
2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes , , , , et comprises dans la bande définie par .
Zoom
a) Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite en décrivant sa démarche.
b) Démontrer cette conjecture.
c) En déduire que la suite est convergente.
d) Déterminer .
Corrigé
Partie A
1.
Pour tout réel x, on a .
a) Lorsque , on a .
Donc .
On sait que , d'où .
Donc .
b)
La fonction f1 est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables. f1 est de la forme uv, sa dérivée f'1 sera de la forme , avec pour tout réel x : u(x) = x