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APPLICATIONS LINEAIRES
PLAN I : Morphismes 1) Définition et exemples 2) Image 3) Noyau II : Cas de la dimension finie 1) Isomorphisme 2) Supplémentaire 3) Le théorème du rang Annexe : une application du théorème du rang en S.I. I : Morphismes 1–Définition et exemples Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps . On appelle application linéaire ou morphisme d'espaces vectoriels une application f de E dans F telle que : ∀ x ∈ E, ∀ y ∈ E, f(x+y) = f(x) + f(y) ∀ x ∈ E, ∀ λ ∈ , f(λx) = λf(x) En prenant λ = 0, on remarque que f(0E) = 0F, ce qu'on peut aussi déduire du fait que f est un morphisme du groupe (E, +). EXEMPLES : uf: → x → ax où a est un paramètre fixé est une application linéaire. u Plus généralement, on peut considérer les applications de la forme : n → p  x1   y1   a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn  x2 y2 a x + a x2 + ... + a2nxn  ...  →  ...  =  21 1 22 ...   xn   yp   ap1x1 + ap2x2 + ... + apnxn  ce qu'on note également :  y1   a11 a12 ... a1n  x1  y a a22 ... a x2  ...2  =  21 ... ... 2n  ...   yp   ap1 ap2 ... apn  xn 
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Matrice définissant l'application f Cet exemple est caractéristique de toutes les applications linéaires en dimension finie. u Soit E un espace vectoriel de base (e1, ..., en), alors une forme linéaire (application linéaire de E dans ) s'écrit : f(x1e1 + ... + xnen) = x1f(e1) + ... + xnf(en) de la forme a1x1 + ... + anxn u f: