Op´rations sur les limites e Limite d’une somme de fonctions. Si lim f = a ”F.I.” signifie ”forme indetermin´e” & a ∈ R ∪ {−∞; +∞}. e

l l l+l

l +∞ +∞

l −∞ −∞

+∞ +∞ +∞

−∞ −∞ −∞

−∞ +∞ F.I.

et lim g = a alors lim(f + g) = a Limite d’un produit de fonctions. Si lim f = a l l l×l

l < 0 ou − ∞ +∞ −∞

l > 0 ou + ∞ +∞ +∞

l < 0 ou − ∞ −∞ +∞

l > 0 ou + ∞ −∞ −∞

0
+∞ −∞

et lim g = a alors lim f × g = a F.I.

Limite de l’inverse d’une fonction. Si lim f = a l=0 1 l

+∞

−∞

0 avec f > 0

0 avec f < 0

0 et f change de signe

alors lim a 1 = f

0

0

+∞

−∞

F.I.

Limite d’un quotient de fonctions. Si lim f = a l

l

l0 +∞

l>0 0 avec g = +∞ > > = x→0 x2 donc lim f = +∞, et f admet une limite en 0. 0 > > 2 > ; lim − =1 x→0 x−2 9 1 1 > > lim 2 = 8 > x→2 x > 4 > > > > lim f = −∞ > > > > + > < 2 = 2 , et f n’admet pas de limite en 2. donc lim − = +∞ > > x−2 x→2− > > > > > lim f = +∞ > : > > > 2− > 2 > = −∞ ; lim − + x−2 x→2 lim 9 1 > =0 > > = x→−∞ x2 donc lim f = 0, et −∞ > > 2 > ; lim − =0 x→−∞ x−2 lim 9 1 > =0 > > = x→+∞ x2 donc lim f = 0. +∞ > > 2 > ; lim − =0 x→+∞ x−2 lim D’apr`s 3. , il y a une A.V. d’´quation x = 2. e e

2.

3.

4.

5. D’apr`s 2. , il y a une A.V. d’´quation x = 0. e e D’apr`s 4. , il y a une A.H. d’´quation y = 0 en − ∞ et en + ∞. e e La position de Cf par rapport a l’A.H. s’obtient en d´terminant le signe de f (x). ` e 6. f (x) = −2x2 + x − 2 x − 2 − 2x2 = ; pour le num´rateur, on a : e 2 (x − 2) x x2 (x − 2) ∆ = 1 − 16 = −15, a < 0 ; donc le num´rateur est toujours . e Sur ] − ∞; 0[ , et ]0; 2[ , f est ⊕ et Cf au-dessus de l’A.H. Sur ]2; +∞[ , f est 7. f (x) = −

et Cf en-dessous de l’A.H.

2 2 −2(x − 2)2 + 2x3 2x3 − 2x2 + 8x − 8 2(x3 − x2 + 4x − 4) + = = = 3 2 3 (x − 2)2 3 (x − 2)2 x (x − 2) x x x3 (x − 2)2 2(x − 1)(x2 + 4) . Or, 2(x − 1)(x2 + 4) = 2(x3 + 4x − x2 − 4), donc on a : f (x) = x3 (x − 2)2 Le signe de f (x) s’obtient a l’aide du