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ASR GSITR NOV

Valeurs propres et vecteurs propres des matrices

L'objet "matrice 2x2"(rappel) 2
Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice 2x2 3
Vecteur propre associé à une valeur propre 4
Valeurs propres de matrices particulières 5
Vecteurs propres associés à une matrice diagonale 6
Matrice de passage d’une matrice à 2 valeurs propres 7
Matrice inversible (rappel) 8
La matrice de passage est inversible 9
La puissance d’une matrice à deux valeurs propres 10

Objectif
Les informations qui vont être données seront utilisées pour l’étude des suites récurrentes et les processus de Markov.

L'objet "matrice 2x2"(rappel)

Une matrice A est de type 2(2 si [pic](2 lignes et 2 colonnes).
Les attributs de A
1) La trace de A : [pic]
2) Le déterminant de A : [pic]
3) Le polynôme caractéristique de A : [pic]
4) Le spectre de A :[pic]
[pic]Ces attributs permettent entre autre de calculer systématiquement [pic]
Exemple [pic]
[pic]
PROPRIETE (Théorème de Cayley-Hamilton appliqué au cas 2[pic])
O est la « matrice nulle » : [pic]I est la « matrice identité »: [pic]
Pour la matrice [pic]on a toujours:
[pic]
« On remplace [pic]par la matrice A dans le polynôme caractéristique de A » Conséquence
[pic]
Exercice
1) Vérifier [pic]
2) Ecrire un algorithme qui calcule la puissance n d'une matrice en utilisant la conséquence du théorème de Cayley-Hamilton.

Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice 2x2

[pic]
Valeur propre de la matrice A (définition)
Une valeur propre de la matrice A est un nombre [pic]tel que l’on puisse trouver une colonne [pic]qui vérifie :
[pic]
Recherche des valeurs propres de la matrice A

On cherche [pic]tel qu’il existe [pic]qui vérifie [pic]c'est-à-dire :
[pic]
Nous avons appris que ce système possède une solution[pic]si et seulement si son déterminant est nul[pic]
[pic]
On trouve :
[pic]
Propriété
Les valeurs propres de la matrice A sont les racines de