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CALCUL VECTORIEL DANS LE PLAN
A. Les vecteurs
1. Définition : Soit A et B deux points du plan.
La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l’unique point D tels que les segments [AD] et (BC) ont le même milieu.
B
A
D
C
2. Propriété : AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.
3. Remarque : Si AB = CD alors
(AB) // (CD)
AB = CD .
4. Cas particuliers
Le vecteur nul, noté 0 , est le vecteur associé à la translation qui transforme A en A.
On a donc : 0 = AA = BB = ..
Le vecteur opposé à u AB est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A.
On note opp (u )
u ;
u
BA .
B. Coordonnées d’un vecteur dans un repère
1. Définition
Dans un repère (O; i , j ), les coordonnées du vecteur u sont celles du point M tel que u OM .
Dans ces conditions si M(x ; y), on note u (x ; y).
2. Cas particulier : 0 (0 ; 0) .
3. Propriété : Soient u (x ; y) et v (x’ ; y’). On a : u
x
x'
y
v
y'
.
4. Propriété : Dans le repère (O ; i , j ), soit A( x A ; y A ) et B ( xB ; y B ) .
Les coordonnées de AB sont AB xB
x A ; yB
yA xI Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont yI Dans le repère orthonormé (O ; i , j ), AB
( xB
xA )2
xA
xB
2
yA
yB
2
( yB
y A )2
C. Somme de deux vecteurs
1. Définition : La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteurs u et de vecteur v .
On note ce vecteur u v .
2. Construction de u v
Relation de Chasles
Règle du parallélogramme
AB + BC = AC
AB + AC = AD
3. Propriété : Dans un repère, si u (x ; y) et v (x’ ; y’) alors u v x x '; y
Pour tous vecteurs u et v : u v
v u et u 0
0 u
y' .
u.
D. Produit d’un vecteur par un réel
Dans la suite, on se place dans un repère (O; i , j ),
1. Définition et notation : Soit u et k un réel.
On appelle produit du vecteur