Rappels et compléments

CALCUL VECTORIEL DANS LE PLAN

A. Les vecteurs
1. Définition : Soit A et B deux points du plan.
La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l’unique point D tels que les segments [AD] et (BC) ont le même milieu.

B
A

D
C

2. Propriété : AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.
3. Remarque : Si AB = CD alors

(AB) // (CD)
AB = CD .

4. Cas particuliers
Le vecteur nul, noté 0 , est le vecteur associé à la translation qui transforme A en A.
On a donc : 0 = AA = BB = ..
Le vecteur opposé à u AB est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A.
On note opp (u )

u ;

u

BA .

B. Coordonnées d’un vecteur dans un repère
1. Définition
Dans un repère (O; i , j ), les coordonnées du vecteur u sont celles du point M tel que u OM .
Dans ces conditions si M(x ; y), on note u (x ; y).
2. Cas particulier : 0 (0 ; 0) .
3. Propriété : Soient u (x ; y) et v (x’ ; y’). On a : u

x

x'

y

v

y'

.

4. Propriété : Dans le repère (O ; i , j ), soit A( x A ; y A ) et B ( xB ; y B ) .
Les coordonnées de AB sont AB xB

x A ; yB

yA xI Les coordonnées du milieu I du segment [AB] sont yI Dans le repère orthonormé (O ; i , j ), AB

( xB

xA )2

xA

xB
2

yA

yB
2

( yB

y A )2

C. Somme de deux vecteurs
1. Définition : La somme de deux vecteurs u et v est le vecteur associé à la translation résultant de l’enchaînement des translations de vecteurs u et de vecteur v .
On note ce vecteur u v .
2. Construction de u v
Relation de Chasles

Règle du parallélogramme

AB + BC = AC

AB + AC = AD

3. Propriété : Dans un repère, si u (x ; y) et v (x’ ; y’) alors u v x x '; y
Pour tous vecteurs u et v : u v

v u et u 0

0 u

y' .

u.

D. Produit d’un vecteur par un réel
Dans la suite, on se place dans un repère (O; i , j ),
1. Définition et notation : Soit u et k un réel.
On appelle produit du vecteur