D.M. de mathématiques n°1 : Configurations du plan

2D4

A rendre le mercredi 14 septembre 2011, au début de l'heure

Exercice 1
Les droites (AM) et (BM) sont respectivement perpendiculaires aux droites (OB) et (OA).
1)

Démontrer que les droites (OM) et (AB) sont perpendiculaires. 2) Que représente le point B pour le triangle OAM ?

Exercice 2
ABC, ACD et ADE sont trois triangles équilatéraux disposés comme sur la figure ci-contre.
Démontrer que le triangle BCE est un triangle rectangle.

Exercice 3
ABCD est un parallélogramme de centre O , I est le milieu de [AB] et K est le milieu de [CD]. (AK) coupe (BD) en M et (CI) coupe (BD) en N.
1) Faire une figure.
2) Démontrez que BN = NM = MD.
3) Quel rôle joue le point N pour le triangle ABC ?

D.M. n°1 : Configurations du plan

CORRIGÉ

2nde 4

Exercice 1.
1) Dans le triangle OAB, les droites (BM) et (AM) sont des hauteurs du triangle AOB puisqu'elles passent par un sommet et qu'elles sont perpendiculaires à la droite qui porte le côté opposé. Le point
M, qui est leur point d'intersection est donc l'orthocentre du triangle AOB.
La droite (OM) qui passe par l'orthocentre du triangle AOB et par le sommet O est donc la troisième hauteur du triangle. Elle est donc perpendiculaire à la droite qui porte le côté opposé, c'est à dire
(AB).
2) Dans le triangle OAM, la droite (OB) passe par le sommet O et elle est perpendiculaire à (AM), la droite qui porte le côté opposé au point O : C'est donc une hauteur du triangle OAM. De même,
(MB) qui passe par B et qui est perpendiculaire à (OA) est donc une hauteur du triangle OAM.
B est donc le point d'intersection de deux hauteurs du triangle OAM. C'est donc l'orthocentre du triangle OAM.
1

Exercice 2
Les triangles ABC, ACD et ADE étant équilatéraux, on a AE= AC = AB . A est donc le centre du cercle circonscrit au triangle BCE.
Tout triangle inscrit dans un demi-cercle dont le diamètre est un des côtés du triangle est rectangle. [voir votre livre, page 248]. Autrement dit, si le