Une CORRECTION du DM1
Exercice 1 : Soit f la fonction définie sur ℝ \ {4 } par f  x  =

Exercice 2 :

2 x 23 x−5
Soit f la fonction définie par f  x  = x2 x 3
4− x

1. f est définie si et seulement si x  2 ≠0 donc f est définie sur ℝ\{−2}

1. Étudier les variations de f f est un quotient de fonctions dérivables. f '  x =

 4 − x  −  x 3  −1 
7
=
4 − x 2
 4 − x 2

2

Pour tout x ∈ℝ \ { 4 } , ( 4−x ) >0 et 7>0 x f '

Méthode :
Étudier la position de la courbe de f par rapport à l'axe des abscisses c'est étudier le

4

−∞

2.

+

∞

signe de f  x 

+

f

Étude du signe du numérateur 2 x 2 3 x −5
 =3 2 − 4 ×2 × −5  =49 0 donc le trinôme 2 x 2 3 x −5 admet deux racines réelles

2. f '  3  = 7 et f  3  =6 y = f '  3   x − 3   f  3  =7  x − 3  6 = 7 x −15

Ainsi, une équation de T, la tangente à C f en 3, est y =7 x −15

−3 −7
5
=−
4
2

x2 =

−3 7
=1
4

Étude du signe de dénominateur x + 2 x + 2⩾0 ⇔ x⩾−2 x 3. L’allure de la courbe de f

x1 =

distinctes :

–∞

−

2 x 23 x−5

+

x2

−

f x

−

Ainsi

5
2

0

−
−

0

1

−2

+

0

−
0

∞
+

+

+
0

−

[

+

[

5 la courbe de f est au dessus de l'axe des abscisses sur − ; −2 ∪ [ 1 ; ∞ [
2
5
∪ ]−2 ; 1 ] la courbe de f est au dessous de l'axe des abscisses sur −∞ ;−
2
5 le courbe de f et l'axe des abscisses sont sécants en − et 1
2

]

]

3. a) Pour tout x ∈ ℝ \ {−2 } ,
2 x −1−

3
( 2 x −1 )( x+ 2 )−3 2 x2 + 4 x−x −2−3 2 x 2 + 3 x −5
=
=
=
= f ( x) x+ 2 x+ 2 x+ 2 x+ 2
( Voir Point Méthode ci-contre )

Point Méthode : DÉMONTRER une ÉGALITÉ.
Un piège à éviter :

Ne pas écrire l'égalité AVANT de la démontrer !

Méthode : Pour démontrer une égalité A=B, trois possibilités :

b) Étude la position de la courbe de f par rapport à la droite d'équation y=2 x−1

1.
a) Effectuer des calculs sur l’expression A pour aboutir à l’expression B

Méthode :

Ou

Pour déterminer cette position, on étudie le signe de la différence f ( x ) − ( 2 x −1 )

b) Effectuer des calculs sur l’expression B