DM2_fonction cos
Devoir maison n°2 de Mathématiques
(à rendre le lundi 2 novembre ; aucun retard ne sera toléré !)
La fonction cosinus :
On considère la fonction f définie par
f ( x ) = cos x et on appelle c sa courbe
représentative dans un repère orthogonal O ; i ; j .
(
Unités : 1cm pour
π
4
en abscisses et 1cm pour
)
1 en ordonnée.
4
1°) a) Donner l’ensemble de définition de la fonction f qu’on notera D f .
b) ∀x ∈ D f , exprimer f ( x + 2π ) , puis f ( − x ) en fonction de f ( x ) .
c) En s’aidant alors de dessins, en déduire des symétries éventuelles pour c.
2°) Expliquer alors pourquoi l’étude de la fonction f sur l’intervalle [ 0 ; π ] suffit pour en déduire ses variations sur
3°) a) Soit deux réels
ℝ et sa courbe c. Pour la suite, notons I = [ 0 ; π ] .
a, b ∈ I , tels que a < b .
Comparer f ( a ) et f ( b ) . (On pourra s’aider du cercle trigonométrique).
b) Qu’en déduit-on pour la fonction f ?
4°) a) Dresser alors le tableau de variation de f sur [ −π ; π ] puis construire c pour
x ∈ [ −π ; π ] , en respectant les unités données en début de devoir.
b) Retrouver ce résultat avec « Xcas » en tapant : graphe(cos(x),x=-pi..pi)
1 y =
−
5°) a) Tracer sur votre graphique la droite d d’équation
.
2
b) Retrouver ce résultat avec « Xcas » en tapant : graphe([cos(x),-1/2],x=-pi..pi)
c) Joindre une impression des deux courbes obtenues à votre devoir.
6°) Résoudre alors dans ]−π ; π ] l’inéquation cos x ≤ −
1
. On représentera l’ensemble
2
des solutions sur le cercle trigonométrique.
7°) Résoudre algébriquement dans ]−π ; 2π ] l’équation 2 cos vous aidant éventuellement du cercle trigonométrique.
2
( x ) + cos ( x ) − 1 = 0 , en