DM 3

A rendre le mercredi 5 /12/2012

On justifiera précisément résultats et constructions
Exercice 1 :
1) Dresser le tableau de variation de la fonction g : x   x²  8x sur
2) [ AB ] est un segment de longueur 8 cm et M est un point de ce segment distinct des extrémités A et B .
1
1
On pose AM = x avec 0 < x < 8 . On note f la fonction définie par f ( x) 
.

AM BM
8
a) Démontrer que pour tout x  ] 0 ; 8 [ , f ( x) 
 x²  8 x
b) Dresser le tableau de variation de f sur ] 0 ; 8 [ . En déduire la position de M pour laquelle f ( x) est minimal.
Exercice 2 :
Soit f la fonction définie sur ℝ – 1 par f ( x) 

5 x²  6 x  8 et D la droite passant par les points x 1

A ( 2 ; 0 ) et B ( – 4 ; 32 )
1) Déterminer une équation de la droite D
2) Un logiciel de calcul formel fournit les renseignements suivants

Interpréter graphiquement ces deux résultats.
3) Déterminer, par le calcul, les coordonnées des points d’intersection de Cf et de la droite D
Exercice 3 :

ABCD est un trapèze rectangle de bases parallèles [AD] et [BC] tel que CD = 10, BC = 6 et AD = 8.
1) Construire sur la figure ci-dessous, le point M tel que M  [CD] et AM = BM.
2) Calculer AM.

A
B

D

C

CORRIGE
Exercice 1 :
1) g est une fonction polynôme du second degré forme ax²+bx+c . a = –1 < 0 donc le sens de variation de g est du type croissant/décroissant. De plus

b 8
b

 4 et f ( )  f (4)  16 .
2a 2
2a


x
Donc, d’après le cours, g a pour tableau de variation :

Variation de g

0

4
16

0

8



0

1
1
8 x  x
8


 x 8  x x(8  x)  x ²  8 x
b) D’après le 1), g x
 x²  8x est croissante sur ] 0 ; 4] et décroissante sur [ 4 ; 8 [. De plus, elle est non nulle
1
et garde un signe constant sur ces deux intervalles. D’après le cours, la fonction x a donc un sens de
 x²  8x
2) a) Pour tout x ]0;8[, f ( x) 

variation contraire à celui de g sur ces deux intervalles, donc cette fonction est décroissante sur ] 0 ; 4] et croissante sur [ 4 ; 8 [.

8 a le même sens de variation que