Terminale S. Mathématiques. Guide de correction du DS. LIMITES – CONTINUITE - DERIVABILITE (1h) Exercice 1. (4 points)

1X4

Exercice 2. (11 points) Considérons la fonction f définie sur I = [!1;1] par f ( x) = (1 ! x) 1 ! x 2 . 1) Dérivabilité de f sur ]!1;1[ .

0,5 2) Calcul de la dérivée f ' de f sur ]!1;1[ . 1,5 3) a) Dérivabilité de f en 1. f ( x) " f (a) existe et est finie. x"a

f est dérivable en a si lim x!a 1/3

2 b) Interprétation graphique. Le nombre dérivé f '(1) , lorsqu’il existe, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en 1. Ici f '(1) est le coefficient directeur de la demi-tangente à C f au point d’abscisse 1 puisque la fonction n’existe qu’à gauche de 1. Comme f '(1) = 0 , la demi-tangente à C f au point d’abscisse 1 est horizontale. 4) a) Montrons que lim+ x !"1

1 1

f ( x) " f ("1) = +# . x +1

On en déduit que f n’est pas dérivable en !1 car la limite obtenue n’est pas finie. b) Interpréter graphiquement ce dernier résultat. Au point d’abscisse !1 , la courbe C f aura une demi-tangente verticale dirigée vers le haut. 5) Sens de variation de f et tableau de variation.

1 1

1! ! Donc f est croissante sur # "1; " # et f est décroissante sur 2$ $ Tableau de variation de f :

! 1 ! # " 2 ;1# . $ $

1,5

1,5

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Exercice 3. (5 points) 1) f est la fonction définie sur R par : f ( x) = x3 + x 2 . 1

On en déduit le tableau de variation de f : 1

2! ! f est croissante sur $ "#; " $ et sur [0; +![ . f est décroissante sur 3% %
2) Montrons que l’équation f ( x) = 7 admet une unique solutαion ! .

! 2 " $ # 3 ;0 % . & '

1

1 D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation f(x) = 7 admet donc une unique solution α sur [ 0;+![ , donc sur ! . 1

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