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DS n◦ 1 - Seconde - Octobre 2014

Devoir Surveillé n◦1
Seconde

Ensembles - Fonctions - Distances
Durée 2 heures - Coeff. 8
Noté sur 60 points

L’usage de la calculatrice est autorisé.

Exercice 1.

Ensembles de nombres

4 + 2 = 6 points

Précisez le plus petit ensemble, au sens de l’inclusion, auquel appartiennent les nombres suivants :
1. A =

1
√
5

2. B =

2, 1
;
0, 3

2

Exercice 2.

3. C = (−10)6 ;
√
√
4. D = 2 × 8 ;

;

5. E =

1
1
√ +
√ ;
1+ 2 1− 2

Vrai ou Faux

4 × 2 = 8 points

Pour chacune de ces affirmations, dire si elles sont vraie ou fausse, en justifiant votre réponse à l’aide d’une propriété, d’un calcul ou d’un contre-exemple.
1. Le produit de deux nombres irrationnels et toujours un nombre irrationnel.
√
1
6
=
2. √
+1
2
6−2
√
√
√
3. Le triangle ABC avec AB = 2 11 cm, AC = 154 cm et BC = 3 22 cm est rectangle.
4.

√
1 − 3 10

Exercice 3.

2

√
= 1 − 3 10.

Repères

8 points

Soit (O , I , J) un repère orthonormée du plan. On considère les points
√
3 1
, C
;
A(1 ; 0) , B 1 +
2
2

√
3
1
;
2
2

1. [4 points] Calculer des longueurs AB, AC et BC.
2. [2 points] Démontrer que (A , B , C) est un repère orthonormé.
3. [1 point] Déterminer les coordonnées de A, B et C dans le repère (A , B , C).
4. [1 point] Déterminer les coordonnées de A, B et C dans le repère (C , A , B).

Exercice 4.

Une fonction ... algébrique

4 × 2 + 1 = 9 points

On considère la fonction f définie sur R par
1. Déterminer l’image de

√

f (x) = −3x2 + 3x + 6
√
3 par f sous la forme a + b 3 où a et b sont des entiers relatifs.

2. Montrer que pour tout réel x on a f (x) = −3(x − 2)(x + 1)
3. En déduire les coordonnées de A et B, les points d’intersection de Cf , la courbe représentative de la fonction f , avec l’axe des abscisses.
4. Déterminer les antécédents de 6 par f .
5. Déterminer les coordonnées de D, le point d’intersection de Cf , la courbe représentative de la fonction f , avec l’axe des ordonnées. www.math93.com / M. Duffaud

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Exercice