EXERCICE 3 (10 points) On désigne par a un réel strictement positif et différent de 1. On se propose de rechercher, dans l’intervalle ]0 ; +∞[, les solutions de l’équation  E a : x a=a x . I Étude de quelques cas particuliers 1. Vérifier que les nombres 2 et 4 sont solutions de l’équation E2. Partie I 1. Équation E2 : x 2=2 x . On a 2 2=2 2 et 42 =24 =16 : 2 et 4 sont donc solutions de E2. 2. Vérifier que le nombre a est toujours solution de l’équation Ea. 2. a a =a a : donc a est solution de Ea. 3. On se propose de démontrer que e est la seule solution de l’équation Ee. On note h la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par h(x) = x − e ln x. Équation Ee : xe =e x . Étude de la fonction h définie par : h(x) = x −e lnx. a. Question de cours : On rappelle que lorsque t tend vers +∞, alors ln x Démontrer que lim x =0 . x ∞

et tend vers + ∞. t

a. Question de cours : on sait que lim

et = +∞. Montrons que t →∞ t x →∞

x →∞

lim

ln x =0 . x

Posons t = lnx (donc x=e t ). On sait que

lim t =∞ .

ln x t 1 Donc lim ln x = lim 1 =0 car de la forme 1 . = t= t t ∞ x →∞ x t →∞ e x e e t t b. Déterminer les limites de h en 0 et + ∞. b. Limite en zéro. Ce n'est pas une forme indéterminée : comme lim ln x =−∞ ,alors lim h x=∞ . x→0 x→0

Limite en +∞ Forme indéterminée +∞ – ∞: on va factoriser ! h  x = x 1− e



ln x x



D’après la question de cours la parenthèse a pour limite 1, donc lim h x=∞ . x →∞

c. Étudier les variations de h sur l’intervalle ]0 ; +∞[. e x−e h est dérivable sur ]0 ; +∞[ et h ′  x =1 − = . x x Sur ]0 ; +∞[, h' est du signe de x – e. Si x > e, h′(x) > 0 et h est croissante sur [e ; +∞[ ; Si x < e, h′(x) < 0 et h est décroissante sur ] 0 ; e]. d. Dresser le tableau des variations de h et conclure quant aux solutions de l’équation Ee. d. Tableau de variations de h D'après les questions précédentes :

x h '(x) h(x)

0 – +∞

e 0 +

+∞ +∞

0 On a h(e) = e − e ln(e) = e − e = 0. D’après