1ère S

Second degré

Correction du contrôle

Exercice 1 :
On appelle

et

les dimensions de ce rectangle. On a :

Résolvons l’équation

:

.

La longueur du rectangle est de

mètres et sa largeur est de

.

mètres.

Exercice 2 :
1)
2)
3) D’après le théorème énoncé à la question 2) de l’exercice 1 :

Ce sont les racines du trinôme.
Les solutions de l’inéquation

.

sont :

Exercice 3 :
1)

.

.

Les racines de ce trinôme sont

et

.

.

2)
3)

étant négatif, le trinôme est négatif à l’extérieur de ses racines :

Exercice 4 :
1)

.

2) Le petit carré a pour aire

et le grand carré a pour aire

donc :
.

3) a)

est de la forme

avec

.

.
Or :

et

cours), le sommet

. Donc d’après la question 3) de l’exercice 1 (Théorème 7.1 du

de la parabole a pour coordonnées :

.

b) Le minimum de l’aire hachurée est le minimum de la fonction . Or est une fonction trinôme du second degré avec positif. D’après le théorème 7.1 du cours, sa représentation graphique est une parabole tournée vers le haut. On en déduit que le minimum de l’aire hachurée est l’ordonnée du sommet de la parabole. Il vaut donc
.
c) Tableau de variations de la fonction

4) a) L’équation

:

ne possède pas de solution car le minimum de la fonction

L’ensemble solution de
c) Le minimum de

étant

, l’inéquation

est

est : n’a pas de solution :

.

Exercice 5 :
On pose

et

. Mettons l’énoncé en équation.

et

vérifient le système

suivant :

Résolvons l’équation (2) du système :

étant une longueur, on en déduit que
On remplace

par

.

dans l’équation (1) du système et on calcule

:

Conclusion :
Les nouvelles dimensions du terrain de Monsieur Dupont sont de large et de long.

et

, c’est-à-dire

.

.