En physique et en mathématiques, un développement limité (noté DL) d'une fonction f en un point, est une approximation polynomiale de cette fonction au voisinage de ce point，c'est-à-dire l'écriture de cette fonction sous la forme de la somme : d'une fonction polynôme dont le degré est appelé l'ordre du développement ; et d'un reste qui peut être négligé lorsque la variable est suffisamment proche du point considéré.
En physique, il est fréquent de confondre la fonction avec son développement limité, à condition que l'erreur (c’est-à-dire le reste) ainsi faite soit inférieure à l'erreur autorisée. Si l'on se contente d'un développement d'ordre un, on parle d'approximation linéaire ou d'approximation affine.
En mathématiques, les développements limités permettent de trouver plus simplement des limites de fonctions, de calculer des dérivées, de prouver qu'une fonction est intégrable ou non, ou encore d'étudier des positions de courbes par rapport à des tangentes.
Sommaire [masquer]
1 Définitions
2 Opérations sur les développements limités
3 Développement limité et fonctions dérivables
4 Quelques utilisations
5 Quelques exemples
5.1 Formulaire
5.2 Approximations affines : développements limités d'ordre 1
5.3 Développements usuels en 0 de fonctions trigonométriques
6 Notes et références
7 Articles connexes
Définitions[modifier | modifier le code]
Soit f une fonction à valeurs réelles1 définie sur un intervalle I, et x0∈I. On dit que f admet un développement limité d'ordre n2 (abrégé par DLn) en x0, s'il existe n+1 réels a0,a1,...,an et une fonction R:I→R tels que ∀x∈I : f(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+...+an(x−x0)n+R(x)=∑i=0nai(x−x0)i+R(x) avec R(x) qui tend vers 0 lorsque x tend vers x0, et ce « plus rapidement » que le dernier terme de la somme, c'est-à-dire que : limx→x0R(x)(x−x0)n=0. Les fonctions R vérifiant ceci sont notées o((x−x0)n) (voir l'article Comparaison asymptotique, et plus précisément la famille des notations de Landau). On écrit donc