Démonstration mathématique de la trayectoire parabolique d’un projectile dans un champ de pesanteur.
Pour étudier le lancement d’un feu d’artifice, je cherche la trajectoire d’un projectile dans un champ de pesanteur uniforme (c'est-à-dire que la constante de gravitation g ne varie pas en fonction de l’altitude) dans un référentiel terrestre considéré galiléen. La vitesse initiale n’est pas verticale. Les frottements de l’air sont négligeables donc le poids est la seule force qui s’exerce sur le solide.
D’après la 2ème loi de Newton, dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse du centre d’inertie d’un solide varie, la somme ∑Fext des forces extérieures au solide qui s’exercent sur lui est égale au produit de la masse par l’accélération, de cette façon : a(t)×m = ∑Fext
La seule force qui s’exerce sur l’artifice est le poids P donc l’équation peut s’exprimer ainsi : a(t)×m = P
L’accélération a est le changement de la vitesse dans un temps donné. Elle s’exprime ainsi : at= dV(t)dt , plus précisement a=limΔt→0ΔV(t)Δt = dV(t)dt
Donc dV(t)dt×m = P
Pour étudier la relation vectorielle, on utilise un repère O;i ;j tel que O est le point d’origine du lancement à t=0 et P= -mg.j .
On peut donc exprimer les cordonnées des vecteurs :
P=0-mg et a(t)=dxVdt(t)dyVdt(t) car a est dérivée du vecteur vitesse V(t)=xV(t)yV(t)
Donc, m× dxVdt(t)dyVdt(t) = 0-mg D’où on sort le système : m × dxVdtt=0 m × dyVdt(t) =-mg dxVdt(t) =0 dyVdt (t)=-g (la masse est non nulle forcement)
Or si la dérivée d’une fonction est égale à une constante, cette fonction est affine. Donc, xVt=A1 yVt=-g×t+A2 où A1 et A2 sont deux constantes différentes.
Puisque A1est une valeur qui ne change pas, xV0=A1 et puisque yV(t)est affine, yV(0)=A2
Donc, xVt=xV0 yVt=-g×t+yV(0)
Or, V(t)=d(t)dt , d est la distance, donc un changement de position du solide, donc une variation der ses coordonnées x et y en fonction du temps.