Investigation : « Comment bien surfer la vague ? »
Un surfer est resté 5 secondes dans un tube. Un film vidéo du mouvement a permis de calculer, en fonction du temps t, sa position de son entrée à la sortie du tube : f(t) = 0,8 t2 + 7 t pour t appartenant à l’intervalle [0 ; 15], t en secondes et f(t) en mètres.
La vitesse instantanée du surfer peut être obtenue pour chaque instant t à partir de f(t) en déterminant le nombre dérivée à l’instant t.
Déterminez, par la méthode de votre choix, le nombre dérivé de la fonction f aux instants t = 0 et t = 15 s. En déduire, en m/s, les vitesses à l’entrée et à la sortie du tube.
Déterminer une fonction dérivée
La vitesse du surfeur
Un surfeur est resté 15 secondes dans un tube. Pour obtenir la fonction donnant la position du surfeur à chaque instant, on a considéré lors de l’étude du mouvement du surfeur par vidéo qu’il était en accélération constante de l’entrée à la sortie du tube.
Soient la fonction f définie sur [0 ; 15] par f(x) = 0,8x2 + 7x et Cf sa courbe représentative. (Voir graphique).

1) Que représente, sur ce graphique, la droite T pour la courbe Cf au point A d’abscisse 5 ?

2) Déterminer, graphiquement, le nombre dérivé f’(5) de la fonction f au point A d’abscisse x = 5.

Le nombre dérivé f’(5) au point A d’abscisse x = 5 correspond à la vitesse du surfeur dans le tube au bout de 5 s.

3) Tracer les tangentes T1 et T2 respectivement aux points d’abscisse x = 0 et x = 15

4) Déterminer alors, graphiquement, la vitesse du surfeur à l’entée et à la sortie du tube, c’est dire pour x = 0 et x = 15.

5) En déduire les nombres dérivés f’ (0) et f’ (15) aux points d’abscisses x = 0 et x = 15.
6) En suivant l’animation du fichier « surfeur_derivee.ggb » compléter le tableau suivant.

x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
f’x

2×0,8 x + 7

7) Comparer les deux dernières lignes