Bac S 2012 Amérique du nord CORRECTION
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EXERCICE I : ÉRUPTION DE LA MONTAGNE PELÉE EN 1902 (5 points)
1. Équations horaires du mouvement
1.1. Dans le référentiel terrestre choisi, le bloc de matière, de masse m, n’est soumis qu’à son poids, il est donc en chute libre. On néglige, en effet les forces de frottements dues à l’air et la poussée d’Archimède.
1 2.

P = m.a
m.g = m.a

a=g

a (a x (t) ; a z (t)) et g (0 ; -g)

donc ax(t) = 0

az(t) = – g

dv x (t) dv z (t)
= 0 az(t) =
=–g
dt dt Par intégration vx(t) = k1 vz(t) = – g.t + k2 k1 et k2 : constantes d’intégrations
Ces constantes se déterminent grâce aux conditions initiales : v 0 (vo.cosα ; v0.sinα)
D’autre part : vx(0) = k1 vz(0) = k2
Finalement : vx(t) = vo.cosα vz(t) = – g.t + v0.sinα
1.3.

ax(t) =

1.4.

vx(t) =

Par intégration

x(t) = (vo.cosα).t + k’1

dx(t) dt vz(t) =

dz(t) dt z(t) = –

1
.g.t² + (v0.sinα).t + k’2
2

k’1 et k’2 : constantes d’intégrations obtenues avec les conditions initiales : x(0) = 0 et z(0) = 0 et k’2 = 0 donc k'1 = 0
1
Soit : x(t) = (v0.cosα
α).t
z(t) = – g.t2 + (v0.sinα
α). t
2

2. Bloc éjecté du cratère avec une vitesse initiale verticale v 01
2.1. Si la vitesse initiale est verticale, alors α = 90°.
D’après la question 1.3. vx(t) = vo1.cos90 alors vx(t) = 0
D’après la question 1.4.

x(t) = (v01.cos90).t

x(t) = 0

vz(t) = -g.t + v01.sin90 vz(t) = -g.t + v01

1 2
g.t + (v01.sin90). t
2
1 z(t) = – g.t2 + v01.t
2
z(t) = –

2.2. Quand le bloc a atteint son altitude maximale h, sa vitesse est nulle. vz(tS) = 0 = – g.tS + v01 v tS = 01 g 1
g.tS2 + v01.tS = h
2
En remplaçant tS par son expression du 2.2. il vient :
2
v2
1
1 v 01 v v
+ 01 h = – g.( 01 )2 + v01.( 01 ) = –
2
g g 2 g g 2
1 v 01 h= 2 g v01² = 2.g.h v 01 = 2.g.h
2.3. D’après la question 2.1. z(tS) = –

2.4. Si h = 400 m alors v 01 =

2 × 9,8 × 400 = 89 m.s-1

3. Bloc éjecté du cratère avec une vitesse initiale oblique v 02
3.1.1. D’après la question 1.4.

x(t) = (v02.cosα).t

soit t =

x(t) v 02