COMMENT DETERMINER L’ENSEMBLE DE DEFINITION D’UNE FONCTION ?
S’il n’est pas donné dans l’énoncé, il faut chercher le domaine (ou ensemble) de définition de la fonction à étudier. Ce peut être ℝ , un intervalle, ou une réunion d’intervalles. 1) Les fonctions polynômes, sinus et cosinus sont définies sur ℝ . 2) La fonction inverse est définie sur ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[ . Si l’expression de la fonction présente un dénominateur, celui-ci doit être NON NUL. En conséquence, les fonctions rationnelles sont définies pour toutes les valeurs qui n’annulent pas leur dénominateur. π  π  La fonction tangente est définie sur  − + k π; + k π  , k ∈ ℤ . 2  2 
3) La fonction racine carrée x → x est définie sur [ 0; +∞[ . Si l’expression de la fonction présente un radical, l’expression située sous le radical doit être POSITIVE OU NULLE. 4) La fonction logarithme népérien x → ln x est définie sur ]0;+∞[ . Si l’expression de la fonction présente un logarithme, l’expression situé dans le logarithme doit être STRICTEMENT POSITIVE.
5) La fonction exponentielle x → e x est définie sur ℝ . Chacune de ces conditions, ou contraintes, peut entraîner la résolution d’une équation ou d’une inéquation. Ces conditions ou contraintes peuvent se CUMULER.

x → k constante x→x x → x2 x → x3 x → xα

Fonction

Domaine de définition de f
ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ si α ∈ ℕ ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[ si α ∈ ℤ,α ≠ −1

x→

1 x

]0;+∞[ pour les valeurs de α ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[ [0;+∞[
ℝ ℝ π  π   − 2 + k π; 2 + k π  , k ∈ ℤ   ]0;+∞[

non entières.

x→ x x → sin x x → cos x x → tan x x → ln x x → ln u ( x) x→e x → eu ( x ) x → ax ; a > 0 x Domaine sur lequel u est définie et u ( x) > 0 ℝ Domaine sur lequel u est définie ℝ

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EXEMPLES CORRIGES
1) f ( x) =

1 3 5 x − x 2 − 3x + 3 3

f est définie sur ℝ en tant que fonction polynôme 2) f ( x ) = cos 4 x − 2 cos 2 x

La fonction f s’écrit f = u v où u ( x ) = x 4 − 2 x 2 et v ( x ) = cos x
Puisque la fonction cosinus v :