LIMITES
Les calculs de limites et la recherche d'asymptotes ont été abordés en classe de première. Nous en rappelons les résultats essentiels. On constatera par ailleurs que, par simple comparaison avec les fonctions de référence, on peut déterminer facilement les limites d'une fonction donnée aux bornes de son ensemble de définition.
1. De quelles fonctions faut-il connaître les limites ?
• Il faut connaître les limites en des fonctions de référence (racine, carré, cube et inverse) :
Seule la fonction inverse a une limite finie en (lorsque x tend vers tend vers 0 par valeurs supérieures à 0, donc positives).
• Pour en déduire les limites en , on doit se rappeler que la parabole représentant la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et que la courbe représentant la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine : et
Les deux branches de l'hyperbole d'équation sont également symétriques par rapport à l'origine, d'où : (lorsque x tend vers tend vers 0 par valeurs inférieures à 0, donc négatives).
• En 0, seule la fonction inverse n'est pas définie. Il faut donc connaître sa limite, lorsque x tend vers 0, par valeurs supérieures à 0 :
On déduit par symétrie sa limite en 0, par valeurs inférieures à 0 :
• On mémorisera ces résultats à l'aide de la représentation graphique ci-dessous : | Zoom |
Remarque
– Au voisinage de l'infini, les deux branches de l'hyperbole se rapprochent de l'axe des abscisses qui est une asymptote au voisinage de et .
– Au voisinage de l'origine O, elles se rapprochent de l'axe des ordonnées qui est une asymptote au voisinage de 0.
– Pour connaître la limite d'une fonction quelconque, on décompose cette fonction en une somme, une combinaison linéaire, un produit, un quotient ou une composée de fonctions de référence.

2. Une fonction a-t-elle toujours une limite aux bornes de son ensemble de définition ?
• Hormis certaines fonctions, comme les fonctions trigonométriques sinus ou cosinus qui