1 BTS CGO

Etude de fonctions : Exemples

I) Rappels- Exemples: f désigne une fonction définie au moins sur un intervalle I de . - Pour étudier le sens de variation de f , il suffit de pouvoir étudier le signe de la dérivée f ’(x) pour établir le sens de variation de f sur I . - Rappelons que f ’(x) désigne le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse x. Ainsi, 1) Du signe de la dérivée au sens de variation Propriétés (admises) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. • si f '(x) est positif , pour tout réel x de I, alors f est croissante sur I • si f '(x) est négatif pour tout réel x de I , alors f est décroissante sur I • si f ' (x) est nul pour tout réel x de I , alors f est constante sur I Rappel : Dérivées des fonctions usuelles : Fonction f k( constante) mx+p x2 x3 xn n∈IN n≥ 2 1 x x Fonction dérivée f ’ 0 m 2x 3x2 nxn–1 1 − 2 x 1 Définie sur…..

]− ∞;0[∪ ]0;+ ∞[

] 0;+ ∞[

2 x
Rappel :Opérations sur les fonctions dérivables( voir le formulaire du BTS CGO en page 364)

Dans tout ce paragraphe, u et v désignent des fonctions dérivables sur un même intervalle I . On obtient le tableau de résultats suivants : Opérations Somme de deux fonctions Produit par une constante k Produit de deux fonctions Inverse d’une fonction Résultat La somme est dérivable sur I La fonction ku est dérivable et La fonction uv est dérivable et 1 La fonction est dérivable pour v tout réel x tel que v(x)≠ 0 ⎛u⎞ La fonction ⎜ ⎟ est dérivable ⎝v⎠ pour tout réel x tel que v(x)≠ 0 et Formule (u + v)' = u '+v' (ku )' = ku ' (uv)' = u ' v + uv'

v' ⎛1⎞ ⎜ ⎟ =− 2 v ⎝v⎠
⎛ u ⎞ vu '−uv' ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠
'

'

Quotient de deux fonctions

a) fonction affine f définie par : f(x) = ax +b :
Y. Carassou Page 1 Etude_fonctions_exemples.doc

Propriété : f ( x ) = ax + b , avec a ≠0où a et b sont deux réels donnés. Soit f la fonction affine x - Si a > 0 , alors la fonction f est croissante sur . - Si a < 0 , alors la