Exercice sur la récurrence corigée pour apprendre
1) On considère la suite
définie par
Montrer que pour tout entier naturel ,
.
Montrons par récurrence la propriété : Pour tout entier naturel ,
Initialisation :
. La propriété est vraie pour
Hérédité : Supposons qu’il existe un entier naturel tel que
Conclusion : On a montré que la propriété est vraie au rang et que si vraie alors est aussi vraie. Donc pour tout entier naturel
2) On considère la suite
définie pour
.
est
par :
Montrer que pour tout
,
.
On note cette propriété .
Initialisation :
. La propriété est donc vraie pour
Hérédité : Supposons qu’il existe un entier tel que
Par définition
En utilisant l’hypothèse de récurrence, on a
On reconnait l’identité remarquable
. Donc
Ainsi
Conclusion : La propriété est vraie pour et elle est héréditaire donc pour tout entier .
3) Démontrer par récurrence sur l’entier
Initialisation :
et
que
. La propriété est donc vraie pour
Hérédité : Supposons qu’il existe un entier
On factorise la somme par
tel que :
:
Ainsi
N. Duceux – Lycée Paul Doumer – Année 2012/13
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Conclusion : La propriété est vraie au rang vraie pour tout entier
.
4) Démontrer par récurrence sur l’entier
que
Démontrons par récurrence sur l’entier
Initialisation : Pour
,
et elle est héréditaire donc elle est
que :
. Donc
Hérédité : Supposons qu’il existe un entier
est vraie tel que
Ainsi, si la propriété est vraie au rang alors elle est vraie au rang
Conclusion : La propriété est vraie pour et elle est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier
Démontrons par récurrence sur l’entier
Initialisation : Pour
,
que :
. Donc
Hérédité : Supposons qu’il existe un entier
On développe l’identité remarquable
D’où :
est vraie. tel que
avec
et
Ainsi, si la propriété est vraie au rang alors elle est vraie au rang
.
Conclusion : La propriété est vraie