Chapitre

3

Notion de continuité sur un intervalle

1. Page d’ouverture

• Activité 2

Lucile a intérêt à regrouper tous les objets : le colis pèsera 120 g et l’envoi coûtera 2,40 €. Deux envois, voire 3, dépasseront cette somme car 1,45 € + 0,60 € ou 1 + 0,60 ne permet pas d’envoyer un colis de poids
120 g, et 1 + 1,45  2,40.

1 a) 1 solution ; 0 solution ; 0 solution ; 2 solutions.
b) Cette condition est aussi nécessaire.
c) Si f est de plus strictement monotone, l’équation a une unique solution dans [– 2 ; 3].
2 a) L’équation f (x) = 0 a 1 solution, notée α.
b)
x
–1
α
6

• Énigme ✱

• Énigme ✱ ✱

1 a = f (a), b = f (β) avec f (x) = x + , pour x  0 x x2 –1 f ’ (x) =
 0 si x  ]0 ; 1]. x2 f est décroissante sur ]0 ; 1] ; 0  α  β  1, donc a  b.

2. Vérifier les acquis
1 a) S = {– 2 ; 3 ; 5}
1
b) S = [– 2 ; 3]  [5 ; 6]
c) S = [– 4 ; – 3[

3 a) f ’ (x) = –12x 2 + 6x – 7
3
b) g ’ (x) = –2e x
5
c) h ’ (x) =
(x + 4)2

0

Cm (x) = C’(x)

20
+

60

0

–

3. Activités d’approche

• Activité 1

1 a) Si x = 8, y = 1, donc a × (8 – 8)2 + b = 1, b = 1.

Si x = 10, y = 5, donc a × (10 – 8)2 + b = 5 d’où 4a + b = 5, 4a + 1 = 5, a = 1.
b)

8 y x
1
2

8

10

–

f (1) = 1,9e1 = 1,9e
1
7 g (1) = − 4 1− 1− = 5
2
2 f (1)  g (1), donc les deux courbes ne se coupent pas quand x = 1.
Elles ne peuvent donc pas avoir la même tangente au point d’abscisse 1.

( )( )

u(x) avec u(x) = e x et v(x) = x – 1, donc v(x) u’ (x) = e x et v’ (x) = 1. Par conséquent : u′(x)v(x) − u(x)v ′(x) f ’ (x) =
(v(x))2
x e (x − 1) − e x xe x − 2e x
=
=
(x − 1) 2
(x − 1) 2 f (x) =

8 g (x) = u(x) × v(x) avec u(x) = 3x – 1 ; v(x) = x .
8
u et v sont dérivables sur I, donc g est dérivable sur I.
1
u’ (x) = 3 ; v’ (x) =
2 x
1
g’ (x) = u’ (x) v(x) + u(x) v’ (x) = 3 x + (3x – 1) ×
2
x
3x–1
g’ (x) = 3 x +
2 x

u(x)
, u(x) = x 2 – 3x + 1, v(x) = x + 2 v(x) u’ (x) = 2x – 3
v’