Exercice 1

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :

un=(n+1)(n+3) /(n+2)2
1. Montrer que la suite (un) est minorée par −1.
2. Montrer qu’une autre expression de la suite est : un=1−1/(n+2)2
3. En déduire que la suite (un) est bornée.

Exercice 2

On considère la suite (un) définie par : u1=1 u2=1
∀n∈N∗ , un+2=un+1+un

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite (un).
2. En admettant que un est positif pour tout entier naturel non nul, déterminer le sens de variation de la suite (un).

Exercice 3

Martin souhaite ouvrir un club de sport à Lyon. D’après les statistiques fournies par la ville, il peut prévoir que :
• 80% des membres reconduiront leur inscription d’une année sur l’autre ;
• 70 nouveaux membres rejoindront le club chaque année à partir de la deuxième année.

Martin ouvre finalement son club le 1er janvier 2010, et enregistre 240 inscriptions la première année.

Pour tout entier naturel n, on note mn le nombre de membres inscrits au club pour l’année 2010 + n.

1. Préciser les valeurs de m0 et de m1.
2. Montrer que pour tout entier naturel n : mn+1=0,8mn+70
3. Montrer que la suite (un) définie pour tout entier n par : un=350−mn est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
4. Exprimer un en fonction de n.
5. En déduire l’expression de mn en fonction de n.
6. A ce rythme, vers quel nombre peut tendre la base annuelle de membres du club