Lycée Eugène Ionesco
Année 2013-2014

Devoir Maison : Fonctions pour le 5 novembre 2013

Mathématiques
Terminale S2

Exercice de type bac
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A : Détermination d’une fonction f
On considère la fonction f définie sur I =]1; +∞[ par :

f (x) =

ax + b
+c
(x − 1)2

3

où a, b et c désignent trois réels que l’on se propose de déterminer dans cette partie. On note f la dérivée de la fonction f .
Sur le graphique ci-contre, on donne la courbe représentative C de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthogonal d’unités graphiques 1 centimètre en abscisse et en ordonnée.
La courbe C admet une tangente horizontale au point d’abscisse 3.
La courbe C passe par le point A(2 ; 1) et la droite T est tangente en A à la courbe C. Le point B(1 ; −4) appartient à la droite T .

2
C

1
−1
−1

1

2

3

4

5

−2
−3

T

−4
−5

1. À l’aide des données précédentes et du graphique, donner sans justification les valeurs de f (2), f (2) et f (3).
2. Exprimer f (2) en fonction de a, b et c.
−ax − a − 2b
.
(x − 1)3
(b) En déduire les expressions de f (2) et de f (3) en fonction de a et b.

3. (a) Montrer que, pour tout réel x, f (x) =

4. (a) En utilisant les résultats des questions 1., 2. et 3.b, montrer que a, b et c vérifient le système d’équations :

 2a + b + c = 1
−3a − 2b = 5

2a + b
= 0
(b) Déterminer les valeurs de a, b et c puis donner l’expression de f (x).
Partie B : Étude de la fonction f
Dans la suite du problème, on admet que la fonction f est définie sur ]1; +∞[ par : f (x) =

5x − 10
+1
(x − 1)2

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Mathématiques
Terminale S2

1. Déterminer la limite de la fonction f en 1.
2. Montrer que, pour tout réel x ∈ I, f (x) =
+∞.

5 − 10 x 1 + 1. En déduire la limite de la fonction f en x−2+ x

3. Monter que C admet une asymptote horizontale D. Donner