La suite de Fibonacci, sous la forme du nombre d’or, dans la vie de tous les jours

Introduction au nombre d’or

L'apparition du nombre d'or remonte à la préhistoire. Ayant appris à diviser un cercle en 5 ou en 10, les hommes en vinrent au pentagone et au décagone , et dès lors ils avaient sous les yeux le nombre d'or. Ce sont aux Grecs que l'on doit une science de la géométrie, mais c'est à Euclide que l'on est redevable d'un véritable traité écrit. Il ne prend pas la peine de désigner le nombre par un nom particulier comme on le fera ultérieurement par l’appellation « Le nombre d'or ». Ce nombre noté « phi » est la racine positive de l'équation x²-x-1=0. Il vaut environ 1,618 033 989.
Le nombre d’or revient à la mode à la Renaissance. En 1509, Luca Pacioli publie un ouvrage intitulé « Divina Proportione », illustré par Léonard de Vinci : premier traité consacré pour une large part au nombre d'or. L'époque contemporaine fait une large place au nombre d'or, en particulier avec le peintre Serusier et l'architecte Le Corbusier. Le peintre catalan Salvador Dali a également utilisé le nombre d'or dans sa peinture.

On le désigne par la lettre grecque j ( phi ) en hommage au sculpteur grec Phidias (né vers 490 et mort vers 430 avant J.C) qui décora le Parthénon à Athènes. C'est Théodore Cook qui introduisit cette notation en 1914.

Phidias réalise lui-même la statue chryséléphantine (faite d'or et d'ivoire) d'Athéna Parthénos.
Explication de l’obtention du nombre d’or

Le " nombre d’or ", ou " section dorée ", ou " proportion dorée ", est un nombre égal à , soit environ 1,618033988749....

Ce nombre correspondrait au partage le plus harmonieux d’une grandeur en deux parties inégales.
Si a et b (a étant plus grand que b) sont les deux parties de la grandeur p, On a :
Comme p = a + b, on trouve , donc a2 = ab + b2.

En donnant la valeur 1 au plus petit, c’est-à-dire à b, on trouve : a2 - a = 1 , donc a2 -a -1 = 0.
La