Les Restitutions organisées de connaissances.
Les suites

« La suite (un) est bornée ssi il existe un réel M0 tel que pour tout n de ℕ, |un| ≤M0. »
On suppose qu’il existe un M0 tel que pour tout n de ℕ, |un| ≤M0.
On montre qu’il existe deux réels m et M tels que pour tout n de ℕ m≤un≤M
|un| ≤M0 donc par définition de la valeur absolue on a - M0≤ un≤M0
On pose m=-Mo et M=Mo
Donc pout tout n de ℕ : m≤un≤M.

(réciproque) On suppose qu’il existe m et M tels que pour tout n de ℕ, m≤un≤M.
On montre qu’il existe un réel M0 tel que pour tout n de ℕ, |un| ≤M0.
On pose M0= Max(|m|,|M|)
On a –M0≤m≤un≤M≤M0 donc –M0≤un≤M0 et donc |un| ≤M0.

« Toute suite croissante (décroissante) non majorée (minorée) tend vers +∞ (-∞) »
Suite majorée : Il existe un réel M tel que pour tout n de ℕ, un≤M
Donc suite non majorée : Pour tout réel M, il existe un n de ℕ tel que un>M
(un) est croissante donc un+1≥un ( pour tout n⋲ℕ et p⋲ℕ si nA.
Or (un) est non majorée donc il existe un n0 tel que un0>A
De plus (un) est croissante donc pour tout n≥n0, un≥un0.
Ainsi pour tout entier n≥n0, un.≥un0.>A donc un>A .
Donc limn→+∞(un)=+∞

« Soient (un) et (vn) deux suites telles que un≥vn (un≤vn) à partir d’un cerain rang.
Si limn→+∞(vn)=+∞ (-∞) alors limn→+∞(un)=+∞ (-∞) »
Soit A un réel quelconque on cherche un entier n0 tel que pour tout entier n≥n0, un0.>A.
Or u un≥vn à partir d’un certain rang n1 c.a.d pour tout n≥n1, un≥vn.
De plus limn→+∞(vn)=+∞ donc il existe un rang n2.tel que pour tout n≥n2, vn>A.
On pose n0.=Max(|n1|,|n2|). Ainsi pour tout entier n≥n0, un≥vn>A
Donc un>A et donc limn→+∞(un)=+∞

« Soient (un), (vn) et (wn) trois suites telles que vn≤un≤wn à partir d’un certain rang.
Si limn→+∞(vn)=limn→+∞(wn)=l alors limn→+∞(un)=l »
Soit ℇ un réel strictement positif.
On cherche un entier n0.tel que pour tout n≥n0, un. ⋲ ] ℓ -ℇ ; ℓ +ℇ [ c.a.d ℓ -ℇx et par th. de comparaison limx⟶+∞ex=+∞ En - ∞ : on