Forme algébrique des nombres complexes

Partie réelle, partie imaginaire
La forme algébrique d'un nombre complexe est a + ib où a et b sont deux réels.
Si z = a + ib où a R et b R, a est la partie réelle de z, notée Re(z), et b est la partie imaginaire de z, notée Im(z).
La partie réelle et la partie imaginaire d'un complexe sont des nombres réels.

Les réels sont les nombres complexes dont la partie imaginaire est nulle.
Les imaginaires purs sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle.
Egalité de deux nombres complexes sous forme algébrique

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont mêmes parties réelles et mêmes parties imaginaires.
Pour tous REELS a et b, a + ib = 0 ⇔ a = b = 0.
Pour tous REELS a, a′, b et b′, a + ib = a′ + ib′ ⇔ a = a′ et b = b′.
Opérations dans C.
Addition des complexes. Pour tous réels a, b, a′ et b′, (a + ib) + (a′ + ib′) = (a + a′) + i(b + b′).
Multiplication des complexes. Pour tous réels a, b, a′ et b′, (a + ib) (a′ + ib′) = (aa′ bb′) + i(ab′ + ba′).

Inverse d'un complexe non nul. Pour tous réels a et b tels que a2 + b2 = 0, a + ib = aa2 ib2 .

Conjugué

1

+

b

Soit z C. On pose z = a + ib où a et b sont deux réels. Le conjugué de z est z = a ib.
Pour tout nombre complexe z, z est réel si et seulement si z = z.
Pour tout nombre complexe z, z est imaginaire pur si et seulement si z = z.

Propriétés de calculs. « Le conjugué marche bien avec tout » :

Pour tous nombres complexes z et z′, z + z′ = z + z′.

Pour tous nombres complexes z et z′, z z′ = z z′.
Pour tout nombre complexe z et tout entier naturel non nul n, zn = zn.

Pour tout nombre complexe non nul z, 1 = 1 .

z

z

Pour tout nombre complexe z et tout nombre complexe non nul z′, zz′ = z′ . z

2

Exemple. Pour x réel et z complexe,
Module

1 + 2i z + ei(1 + ix)2(3 2i)
(1 + iz)2

= 1(1 ii 2z + ei(1 ix)2(3 + 2i). z)

2

Soit z C. On