Fonctions polynômes de degré 2
Définition : une fonction trinôme est une fonction polynôme du deuxième degré , càd dont l’expression peut se mettre sous la forme développée f(x) = ax²+bx+c , où a,b,c sont des nombres réels données
Objectifs :
- étude de la fonction de référence : la fonction « carré »
- Différentes formes pour l’écriture de l’expression des fcts trinômes ; utilité de chaque forme : sens de variation ; résolution d’inéquations

I. La fonction de référence : la fonction « carré » f(x) = x²
Tableau de valeurs x -3 -2 -1 0 0.5 1 1.5 2 3 y=x² 9 4 1 0 0.25 1 2.25 4 9

Courbe

Remarque sur la symétrie : deux nombres opposés ont des images égales (on dit que la fonction est paire) ; sa RG est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Tableau de variations x 0 f(x) 0

traduction par phrases :
- quand x positif augmente, alors y=x² augmente (la fonction « carré » conserve l’ordre sur les positifs);
- quand x négatif augmente, alors y=x² diminue (la fonction « carré » inverse l’ordre sur les négatifs);

II. Variations des fonctions trinômes sous forme canonique.
1. variation des fonctions f(x) = ax²
La RG d’une fonction f(x)=ax² esr une parabole tournée vers le haut (U) si a est positif, tournée vers le bas (∩) si a est négatif
2. forme canonique
Définition : l’écriture canonique d’une fonction est l’écriture sous la forme f(x) = a(x-)²+, où a,  et  sont des réels donnés
Exemple : f(x) = 3(x-2)²+5 est une forme canonique avec a=3 ; = 2 et  = 5. f(x) = 3(x²-4x+4)-5 = 3x²-12x+12-5 = 3x²-12x+7 : f(x) est bien une fct polynôme du 2ème degré avec a=3 ; b=-12 et c=7

3. Variations d‘une fonction sous forme canonique
Théorème (admis)la RG d’une fonction trinome écrite sous forme canonique f(x) = a(x-)²+ est une parabole de sommet ( ; ).
Ce théorème permet de connaître les variations d'une fonction rinôme écrite sous forme canonique
Exemple : la représentation graphique de la fonction