Forces centrales, forces intermoléculaires (Centrale, Supélec TSI 2003)

A) Forces centrales Une particule de M de masse µ est soumise à une force centrale dérivant de l’énergie potentielle U : Avec [pic] , [pic] On désigne par E la constante de l’énergie et par [pic] le moment cinétique à l’origine O, dans le référentiel galiléen de l’étude.
A.1) Rappeler les propriétés essentielles : [pic] du vecteur [pic], [pic] de la trajectoire, [pic] de l’aire dA balayée par le rayon vecteur [pic]pendant le temps dt.
A.2) a) r et θ représentant les coordonnées polaires de la particule M. Exprimer LO en fonction de µ, r et [pic]. b) Que peut-on dire de la nature du mouvement dans les deux cas : LO = 0 et LO[pic]0 ?
A.3) a) Montrer que la constante d’énergie E est une fonction simple des paramètres ou variables : µ, LO, r, [pic] et U(r). b) En déduire l’ "équation radiale" : [pic] où l’énergie potentielle dite "effective" Ueff sera exprimée en fonction de U(r), LO, µ et r. c) À quelle condition l’équation radiale présente-t-elle une solution physique ? d) Exprimer enfin [pic] et [pic] en fonction de r et des constantes.
A.4) Le terme en [pic] qui s’ajoute à U(r) dans l’expression de Ueff est généralement appelé "énergie potentielle centrifuge". a) Montrer que le mouvement radial de la particule M se produit dans un référentiel tournant dont on précisera la vitesse angulaire de rotation [pic]. b) Exprimer la force associée à l’énergie potentielle centrifuge. Elle représente la force d’inertie centrifuge associée au mouvement radial lorsque l’étude est menée dans le référentiel précédent. En déduire l’équation différentielle du mouvement radial sous la forme : [pic]. Expliciter la fonction G.
B) Forces intermoléculaires Dans le cas d’un gaz suffisamment dilué, la force d’interaction entre deux molécules voisines M1 et M2 dénuées de moment dipolaire est appelée force de Van der Waals. Lennard-Jones, en 1929, étudiant la liaison chimique à partir