LM100 18 mai 2005

Formulaire
(Ce que vous devrez savoir par cœur à la fin du cours)

Trigonométrie cos(α + nπ ) = (−1) cos α sin(α + nπ ) = (−1) n sin α n π  cos − α  = sin α 2  π  sin  − α  = cos α 2 

cos(a + b) = cosa cosb − sin a sin b sin(a + b) = sin a cosb + sinb cosa

cos2 a + sin2 a = 1

Toutes les autres formules se retrouvent à partir des formules ci-dessus.

cos(2a) = cos a − sin a sin(2a) = 2 sin a cosa cos p + cos q = 2 cos p+q p−q cos 2 2 p+q p−q sin p + sin q = 2 sin cos 2 2

2

2

cos(a − b) = cosa cosb + sin a sinb sin(a − b) = sin a cosb − sinb cosa cos p − cos q = −2 sin p+q p−q sin 2 2 p+q p−q sin p − sin q = 2 cos sin 2 2 y Vous devez savoir utiliser le cercle trigonométrique pour retrouver par exemple les expressions du type : cos(π − α ) = − cos α π  cos + α  = − sin α 2  etc….

uur j sinα

M α cosα uu r i x

1

Vecteurs
Egalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont égaux si leurs composantes sont égales deux à deux. r ON NE PEUT JAMAIS ECRIRE V = x , un vecteur =un scalaire
Produit scalaire r r V1 ⋅ V2 est un scalaire (= un nombre réel) r r r r r r V1 ⋅ V2 =|| V1 || || V1 || cos (V1 ,V2 ) … Produit vectoriel r r V1 × V2 est un vecteur

définition

r r r r r r || V1 × V2 ||=|| V1 || || V1 || sin (V1 ,V2 ) r r r r r r (V1 × V2 )⊥V1 et (V1 × V2 )⊥V2 r r r r (V1 ,V2 ,V1 × V2 ) est une base directe
 y z − y2 z1 r r  1 2 V1 × V2 =  z1x2 − z2 x1 x y − x y  1 2 2 1

Expression analytique

r r V1 ⋅ V2 = x1 x2 + y1 y 2 + z1 z 2

dans une base orthonormée r r r r propriétés V1 ⋅ V2 = 0 ⇔ V1⊥V2 r r r V1 ⋅ V1 =|| V1 ||2 r r r r V1 ⋅ V2 = V2 ⋅ V1 r r rr r r Effets sur les i ⋅ i = j. j = k ⋅ k = 1 vecteurs d’une base r r r r r r i.j = j ⋅k = i ⋅k = 0 orthonormée r v r directe (i , j , k ) Mais à quoi ça - à démontrer l’orthogonalité de 2 sert ? vecteurs - à calculer l’angle entre deux vecteurs - à calculer la projection d’un vecteur sur une droite etc…

dans une base