CHAPITRE 1 GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

1 Ensemble de définition et réductions éventuelles
1. Ensemble de définition
• Dans , les intervalles sont les ensembles suivants où a b : – intervalles ouverts : ]– ∞ ; a[ ; ]a ; b[ ; ]b ; +∞[ ; – intervalles fermés : ]– ∞ ; a] ; [a ; b] ; [b ; +∞[ ; – intervalles semi-ouverts ou semi-fermés : [a ; b[ ; ]a ; b] ; – intervalles particuliers : = ]– ∞ ; + ∞ [ et ∅ = ]a ; a ] = [ a ; a [ = ] a ; a [ . • L’ensemble de définition Df d’une fonction f est l’ensemble des éléments ayant une image par f. D f = { x ∈ /f (x) existe }. Remarque : Df est un intervalle ou une réunion d’intervalles.

2. Parité d’une fonction
Soit une fonction f définie sur un ensemble D symétrique par rapport à zéro, c’est-à-dire que pour tout x de D, –x appartient à D. Parité de f Paire Impaire Définition f (– x) = f (x) f (– x) = – f (x) Élément de symétrie de la courbe f axe des ordonnées origine du repère
+

Conséquence : si f est paire ou impaire, alors on peut réduire l’étude de f à

D.

3. Périodicité d’une fonction
Soit un réel T strictement positif et une fonction f d’ensemble de définition D. Le nombre T est une période de f si, et seulement si pour tout réel x de D, ( x + T ) ∈ D et f (x + T) = f (x). Conséquence : on peut réduire D à un intervalle d’étude d’amplitude T contenu dans D. On peut représenter f sur cet intervalle, puis on obtient toute la courbe en utilisant des translations de vecteur kT i avec k ∈
10

.

cours

savoir-faire

exercices

corrigés

exemples d’application
³ Réduire l’ensemble de définition de la fonction f définie par :

corrigé commenté
∀x ∈ ,

f (x) = sin xcos 2 x.

Indication : on commence par chercher une période pour la fonction f : pour cela on sait que les fonctions sinus et cosinus sont de période 2π. f (x + 2π) = sin ( x + 2π )cos 2 ( x + 2π )

f (x + 2π) = sin xcos 2 x = f (x). Donc 2π est une période de f, ce qui permet de choisir un intervalle d’amplitude 2π pour étudier f.