Chapitre 5 Dérivation

1 Nombre dérivé d’une fonction en un point x0 ( (

2 Fonction dérivée

2.1 Définition 2.2 Tableaux

3 Applications

4 Utilisations de la fonction dérivée

4.1 Equation de la tangente à la courbe en un point x0 4.2 Variations de f et signes de f’

1 Nombre dérivé d’une fonction en un point x0 ( (

Taux d’accroissement :
T(k) = ((f(x0) + k) – f(x0)) / k
T(k) = (YM’ – YM) / (XM’ – XM)
= coefficient directeur de la droite (S).
Lorsque k ( 0 : M’ ( M (S) ( (T) Coeff. Dir. (S) ( Coeff. Dir. (T)
Coefficient directeur de (T) = Lim T(k) = Nbre dérivé de f en x0. k ( 0
Application : f(x) = x2 + 3 , nbre dérivé en x0 = 2.
T(k) = (f(2 + k) – f(2)) / k
T(k) = ((2 + k)2 + 3 – 7) / k
T(k) = (4k + k2) / k
T(k) = (k(4 + k)) / k = 4 + k

2 Fonction dérivée

2.1 Définition

On appelle fonction dérivée f’(x), la fonction qui permet d’associer à chaque valeur de x, le nombre dérivé correspondant.

2.2 Tableaux

|f(x) |f’(x) |
|a |0 |
|ax |a |
|axn |naxn - 1 |
|a / x |-a / x2 |
|a / xn |-na / xn + 1 |
|a√x |a / (e√x) |
|Ln x |1 / x |
|ex |ex |

|f(x) |f’(x) |
|u + v |u’ + v’ |
|u * v |u’v + uv’ |
|u / v |((u’v) – (uv’)) / v2 |
|un |nun – 1u’ |
|√u |u’ / (2√u) |
|Ln u |u’ / u |
|eu |u’eu |

3 Applications

• f(x) = 5x3 – 7x2 + 4x – 2 f’(x) = 15x2 – 14x + 4

• f(x) = (3/x) – (4/x2) + (7/3x3) f(x) = (-3/x2) + (8/x3) – (7/x4)

• f(x) = ex(x – 3) u = ex u’ = ex v = x – 3 v’ = 1 f’(x) = ex(x – 3) + 1 * ex