Correction - Bac S - Pondichéry - Avril 2013

Correction du Baccalauréat S Pondichéry Avril 2013
Exercice 1. Commun à tous les candidats Partie 1 La fonction h est définie par h(t ) = t →+∞

5 points

a avec a et b constantes réelles positives. 1 + be−0,04t

– D’après les données, lim h(t ) = 2. On a lim be−0,04t = 0 et donc t →+∞ t →+∞

lim h(t ) = a = 2 .

– De plus h(0) = 0, 1. a 2 Or h(0) = soit 0, 1 = d’où b = 19 . 1+b 1+b On obtient donc h(t ) = Partie 2 2 . 1 + 19e−0,04t

1.

f (t ) =

1, 52e−0,04t 1 + 19e−0,04t
2

.

La dérivée de f est donc strictement positive sur [0 ;250] et donc f est strictement croissante sur cet intervalle. 2 2. On cherche alors à résoudre l’inéquation f (t ) > 1, 5 soit > 1, 5. 1 + 19e−0,04t 1 On obtient 0, 5 > 28, 5e−0,04t ⇐⇒ > e−0,04t . 57 La fonction ln étant strictement croissante sur [0 ;250] on a donc : 1 ln(57) ln > ln e−0,04t ⇐⇒ − ln 57 > −0, 04t ⇐⇒ t > = 25 ln(57) 101, 08 57 0, 04 3. a. On a f (t ) = 2 × e0,04t 1 + 19e−0,04t × e0,04t soit f (t ) = 2e0,04t . e0,04t + 19

La fonction F définie sur [0 ;250] par F (t ) = 50 ln e0,04t + 19 est bien une primitive de la fonction f car sa dérivée F est égale a f . 50 × 0, 04e0,04t 2 × e0,04t F (t ) = = 0,04t = f (t ). e0,04t + 19 e + 19
1 b. La valeur moyenne de f sur [50 ;100] est donnée par : m = 50 4 e + 19 1 1 100 1 100 50 50 f (t )d t = 50 [F (t )]50 = 50 (F (100) − F (50)) = ln e2 + 19 100 50

f (t )d t .

m=

1 50

100 50

f (t )d t = ln

e4 + 19 ≈ 1, 03 à 10−2 près. e2 + 19

Cela correspond à la taille moyenne du plant de maïs entre le 50ème et le 100ème jour. 4. Le nombre dérivé f (a) correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a. On cherche donc graphiquement le point de la courbe qui a une tangente de coefficient directeur maximal. Une valeur approchée de a est alors 73, la hauteur du plant est donc de f (73) ≈ 0, 99 m à 10−2 près.

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