Analyse vectorielle : gradient, rotationnel et divergence
1 Notions fondamentales
1.1 Opérateur 'nabla'

L'opérateur 'nabla' ou ∇ est très utile en analyse vectorielle. Il permet de déterminer les notions de gradient, rotationnel, divergence et laplacien de manière simple et concise. Il se définit comme suit :  ∂     ∂x     ∂  ∇=   ∂y       ∂     ∂z  1.2

(1)

Travail d'un champ vectoriel le long d'une courbe - Intégrale curviligne

Soient un champ vectoriel A et deux points de l'espace Pa et Pb reliés par une courbe C. A chaque point de C, on assigne un vecteur A .

Pb A Pa dl
Figure 1 Le travail du champ vectoriel A de Pa à Pb le long de C s'écrit ainsi :
T=
Pb

C

Pa

∫

C

A ⋅ dl

(2)

On montre que :
Pa

Pb

∫

C

A ⋅ dl = − ∫ C A ⋅ dl
Pa

Pb

(3)

Denis Prêtre, dernière révision : 21/09/2004

1

Analyse vectorielle – gradient, rotationnel et divergence Si Pa = Pb, alors on parle de circulation du champ vectoriel A le long de la courbe fermée C et on écrit :

T = ∫ A ⋅ dl
C

(4)

A Pa dl
Figure 2 1.3 Flux d'un champ vectoriel à travers une surface - Intégrale de surface

C

Soient un champ vectoriel A et une surface S. Chaque unité de surface dS au voisinage d'on point P peut être représenté par un vecteur perpendiculaire à S au point P appelé simplement dS . Si on définit n ( x , y, z) le vecteur de module 1 perpendiculaire à S en tout point, on trouve dS = n ⋅ dS .

A

S

P

dS = n dS

Figure 3 Le flux du champ vectoriel A à travers la surface S est défini ainsi :

Φ = ∫∫ A ⋅ dS = ∫∫ A ⋅ n ⋅ dS
S S

(5)

Si la surface S est fermée on écrit :

Φ = ∫∫ A ⋅ dS = ∫∫ A ⋅ n ⋅ dS
S S

(6)

La notion de flux à travers une surface fermée est importante. Si aucune 'source' ne se trouve à l'intérieur de S, alors ce flux doit être nul. Remarque importante : quand on parle de surface fermée S, le vecteur n est toujours dirigé vers l'extérieur de S.

HE-Arc,