ÉCOLE POLYTECHNIQUE

FILIÈRE

MP

CONCOURS D’ADMISSION 2010

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES
(Durée : 4 heures) L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

Sur quelques questions de calcul différentiel
Notations et conventions Pour tout entier n > 0, on note . , . le produit scalaire euclidien usuel et || . || la norme associée sur Rn , Sn−1 la sphère de rayon 1 dans Rn , Mn (R) l’espace des matrices réelles à n lignes et n colonnes, In la matrice identité dans Mn (R), GLn (R) le sous-ensemble de Mn (R) des matrices inversibles, et SLn (R) celui des matrices de déterminant 1. On note Tr (M ) la trace d’une matrice M de Mn (R), t M sa transposée, M la matrice de ses cofacteurs, et l’on rappelle la formule M t M = det(M ) In . Si M est une matrice de Mn (R), on désigne par exp M son exponentielle, définie par +∞ Mk . On rappelle que l’application t → exp(tM ) de R dans Mn (R) est de classe exp M = k! k=0 C 1 , et que sa dérivée en 0 est M . De même, si ϕ est un endomorphisme d’un R-espace vectoriel +∞ k ϕ de dimension finie, on note exp(ϕ) son exponentielle donnée par la série . k! k=0 Soit U un ouvert de Rn . Si f : U → Rp est une application de classe C 1 , on note dfx sa différentielle au point x, soit : 1 ∀h ∈ Rn , dfx (h) = lim (f (x + th) − f (x)) . t→0 t Préliminaires 1a. Soient α et β deux formes linéaires sur Rn telle que ker β ⊂ ker α. Montrer qu’il existe un réel λ tel que α = λβ. r 1b. Soient α, β1 , . . . , βr des formes linéaires sur Rn telles que i=1 ker βi ⊂ ker α. Montrer que r−1 α est combinaison linéaire de β1 , . . . , βr . (Une méthode possible est de raisonner par récurrence sur r, en considérant, pour r ≥ 2, la restriction de α et βr à F = i=1 ker βi ).

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Première partie 2. Soit γ : ] − 1, 1[→ Rn une application de classe C 1 telle que ∀t ∈] − 1, 1[, ||γ(t)|| = 1 .

Montrer que pour tout t dans ] − 1, 1[, γ(t), γ (t) = 0. 3. Soit x ∈ Rn tel que ||x|| = 1 et soit v ∈ Rn , non