Critères de dimensionnement

Après avoir déterminé le champ des contraintes dans la pièce, l’ingénieur doit encore calculer la sécurité de cette pièce compte tenu de la résistance limité du matériau utilisé. Les matériaux fragiles se cassent brusquement sans écoulement plastique préalable. La limite de rupture et d’élasticité sont atteintes simultanément. Pour les matériaux ductiles, la limite de rupture est plus élevée que la limite élastique et il est alors nécessaire de distinguer la sécurité vis-à-vis de l’une de l’autre.

Critères de dimensionnement
Les critères de dimensionnement en chargement monotone ou critères de limite d’élasticité définissent une limite de chargement de comportement mécanique et notamment le passage d’un comportement élastique à un comportement plastique. Ces critères sont généralement exprimés dans l’espace R6 des contraintes par l’intermédiaire d’une fonction scalaire f du tenseur σ, dénommée critère limite (d’élasticité, de plasticité ou de rupture). Cette fonction dite de charge :

f = σ eq − σ T
Le critère est satisfait si

⎧f < 0 ⎨ ⎩f = 0

élastique plastique

σR σT

σT σT E

σT

Fragile

Ductile

Elastique non linéaire

Relation force-contrainte et déformation-déplacement Contrainte et déformation de l’ingénieur Contrainte et déformation vraies

σ= ε= F S
Conservation du volume

F σ= S

ε = Ln

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

L −L L 0

0

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

L −L L 0

0

S0L 0 S0 = SL = S0L 0 ⇒ S = (1 + ε) L

F σ= S0 (1 + ε)

σ σ σ T ε w = ∫ σ dε ε 0

ε

ε T

Énergie de déformation élastique

1 3 1 W = ∑ σii εii = (σ11ε11 + σ 22 ε 22 + σ 33ε 33 + τ12 γ 12 + τ13 γ 13 + τ 23 γ 23 ) 2 i=1 2

a. Critère de déformation principale maximale (Saint-Venant 1837): εCo ≤ (εI, εII, εIII ) ≤ εTr ⇒ σCo ≤ σI − υ(σII + σII ) ≤ σTr

b. Critère de la contrainte principale maximale (Rankine 1858)

σCompression ≤ (σ I , σ II , σ III ) ≤ σTraction

c. Critère de contrainte de