POLYNESIE
Exercice 1 : (5 points)

Juin 2010

Série S

Corrigés

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Commun à tous les candidats

Partie A - Restitution organisée de connaissances 1. Soit z un nombre complexe tel que z = a + bi où a et b sont deux nombres réels. Soit z’ un nombre complexe tel que z’ = a’ + b’i où a’ et b’ sont deux nombres réels. z × z’ = (a + ib)(a’ + ib’) = aa’ + iab’ + iba’ – bb’ = aa’ – bb’ + i(ab’ + ba’) Donc z × z’ = aa’ – bb’ + i(ab’ + ba’) = aa’ – bb’ – i(ab’ + ba’) z × z’ = (a – ib)(a’ – ib’) = aa’ – iab’ – iba’ – bb’ = aa’ – bb’ – i(ab’ + ba’) Donc pour tous nombres complexes z et z’, z × z’ = z × z’ . 2. Démontrons par récurrence la propriété : Pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre complexe z, z = Initialisation : z1 = z et n (z)

n

(z)=

1

z

La propriété est vraie au rang 1. Hérédité : Supposons la propriété vraie à un rang n donné. Au rang n + 1 : zn+1 = zn × z = zn × z =

( ) z n

× z =

( ) z n+1

La propriété est vraie au rang n + 1. La propriété étant héréditaire et vraie au rang 1 on a donc : Pour tout entier naturel n non nul, et tout nombre complexe z, zn = Partie B 1. Soit z un nombre complexe solution de l’équation (E) . On a (– z)4 = (– 1)4 × z4 = z4 = – 4 car z est solution de (E). Donc − z est solution de l’équation (E).
4 n

( ). z donc

(– z)4 = – 4 .
4

On a

( z ) = z = – 4 car z est solution de (E) et – 4 = – 4 donc

4

( z ) = – 4.

Donc z est solution de l’équation (E). Donc si le nombre complexe z est solution de l’équation (E) alors les nombres complexes − z et z sont aussi solutions de l’équation (E). 2. a. z0 = 1 + i z0 = 1 + i = 12 + 12 = 2 donc π arg z0 = [2π] 4
4

donc

 2 2 z0 = 2  + i  2 2 i π 4

Donc z0 = 2 e .

π 4  iπ  i   4 b. =  2e  = 2 ×  e 4  = 4eiπ = – 4 .     Donc z0 est solution de l’équation (E).

z04

( )

4

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