LES HOMOTHÉTIES
I) Généralités
Définition : On appelle homothétie de centre O et de rapport k (k ¹ 0) la transformation pour laquelle un point
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M du plan a pour image le point M' tel que : OM' = k OM
Exemples : dans chacun des cas ci-dessous, construire l'image de la figure par l'homothétie de centre O et de rapport k. Préciser également s'il s'agit d'un agrandissement ou d'une réduction. k=2 B
Dans chaque cas, on écrira des relations de colinéarité

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O

du type : OA¢ = 2 OA

C
A

k=

1
2

A

B

O

D

k = –2

C

A

O

B

Théorème 1 : dans une homothétie, un point, son image et le centre sont ________________.
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Démonstration : par définition, la relation OM' = k OM signifie que les vecteurs OM' et OM sont
___________________, donc les points O, M et M' sont ___________________.

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Théorème 2 : Si une homothétie de rapport k transforme M en M' et N en N', alors on a : M'N' = k MN .
Démonstration :

Les homothéties

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M'N' = M'O + ON' = k MO + k ON = k ( MO+ ON ) = k MN

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G. COSTANTINI http//bacamaths.net/

Conséquences : * une homothétie transforme une droite en une droite _________________.
* une homothétie multiplie les distances par _______________.
Exercice : démontrer qu'une homothétie h transforme un triangle en un triangle semblable :

II) Propriétés des homothéties
1) Conservation :
- l'homothétie ne conserve pas les distances
- l'homothétie conserve :
- l'alignement.
- les angles (et en particulier l'angle droit).
- le milieu d'un segment.
- les relations de colinéarité.

Construire les images des points A, B, I et C par l'homothétie de centre O et de rapport -1/2.

C

B
I
A
O

2) Action sur les figures :
Une homothétie h de rapport k (k ¹ 0) transforme :
- une droite d en une droite d' parallèle à d.
- un segment [MN] en un segment [M'N'] parallèle tel que M'N' = ½k½MN.
- un cercle C de rayon R en un cercle C' de rayon ½k½R.
- un triangle (isocèle, rectangle, équilatéral) en un triangle de même nature.
- un