IPT Informatique Pour Tous : Python™ Résolution approchée d'une équation – Dichotomie, Newton.

Objectif :

L'objectif de ce TD est de mettre en œuvre et de comparer les performances de deux méthodes de recherche approchée d'une racine d'une équation algébrique :

méthode de dichotomie,

méthode de Newton (avec variante selon la connaissance ou non de la dérivée de la fonction).

Problème proposé : recherche des fréquences propres des modes de vibrations d'une pale d'hélicoptère.
(d'après une idée de Philippe FICHOU, Lycée Chateaubriand, RENNES)

Les pales d'hélicoptère sont assimilables (en première approximation) à des poutres encastrées au rotor principal et libres à leurs extrémités. Ces pales peuvent entrer en résonance sous l'effet des actions mécaniques aérodynamiques (excitation cyclique), il est donc impératif d'estimer ces fréquences propres afin de vérifier qu'elles ne correspondent pas à celles de la source d'excitation.

Une modélisation du phénomène (modélisation de type MMC [= Mécanique des Milieux Continus] ) montre que pour une première approche avec un modèle simplifié de poutre encastrée, les modes propres en flexion sont tels que les fréquences propres sont liées aux racines de l'équation : ,

La relation de correspondance étant : ,

avec : - , masse de la pale, - , longueur de la pale, - , module d'élasticité du matériau, - , moment quadratique de la section.

La figure ci-contre illustre les allures des déformées des trois premiers modes propres (le carré symbolise l'encastrement de la pale dans le rotor).

Il n'est pas possible de proposer des solutions formelles (analytiques) à cette équation, on doit donc rechercher des solutions approchées par une méthode numérique. On peut alors obtenir les fréquences propres de vibrations d'une pale.

On obtient pour les trois premiers modes propres :

Les valeurs exactes des fréquences correspondantes s'obtiendraient avec les caractéristiques physiques d'une pale, par