1S1 – Corrigé DM09

Exercice 1 Étude de la fonction f définie par : f(x)=−4x ).

1. Recherche du domaine de définition de f. On peut écrire, pour tout réel x : −4x=x(x−4). Le polynôme −4x a donc pour racines 0 et 4. Il est positif à l'extérieur de ses racines :

|x |-õ |0 | |4 |+õ |
|−4x |+ |0 |- |0 |+ |

L'expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle. On en déduit le domaine de définition de f : =∟

2. Recherche d'un axe de symétrie. Compte tenu du domaine de définition de f, s'il y a un axe de symétrie pour la courbe C, son équation est x=2. Démontrons-le : On a, pour tout réel xÃ2 : f(2−x)=−4(2−x) ) f(2−x)=−8+4x ) f(2−x)=−4 ). Par ailleurs : f(2+x)=−4(2+x) ) f(2+x)=−8−4x ) f(2+x)=−4 ). On a bien, pour tout réel xÃ2 : f(2−x)=f(2+x). Donc la courbe C a pour axe de symétrie l'axe d'équation x=2.

3. Calcul des limites. On a : −4x=)=+õ;=+õ) )) donc : −4x )=+õ. De la symétrie axiale démontrée à la question précédente, on peut déduire : −4x )=+õ.

4. Calcul de la dérivée. Tableau de variation de f. On sait que si u est une fonction strictement positive et dérivable alors )'=) ). Posons : u(x)=−4x. On déduit u'(x)=2x−4. Donc : f′(x)=−4x )) )=−4x )) )

Le dénominateur est strictement positif pour x☻∟ Le signe de f′(x) et le tableau de variation de f est donc le suivant :

|x |-õ | |0 |2 |4 |+õ |
|x−2 |- |0 |+