L2 mass
L2 MASS — Analyse
Feuille de TD 6
Exercice 1 Pour chacune des s´ries enti`res suivantes, d´terminer le rayon de convergence R et e e e le comportement de la s´rie au bord de l’intervalle de convergence, i.e., en x = ±R. e (a) (e) sinh n n n≥0 cosh n x xn n≥2 n ln n
(b) (f )
n≥2
(−1)n xn ln n xn n≥1 1+ 1 +···+ 1 2 n
(c) (g)
(−1)n n n≥1 1×3×5×···×(2n−1) x x2n n≥0 2n
(d) (h)
xn n≥0 cosh n n! n≥0 x .
Exercice 2 1. D´terminer les rayons des s´ries enti`res e e e 2. En d´duire le rayon de la s´rie suivante : e e 1 2n+1 − 5 5 × 3n+1 xn ,
2n+1 n 5 x
n≥0
et
−1 n n≥0 5×3n+1 x .
n≥0
puis d´terminer le comportement au bord. e 3. R´duire en ´l´ments simples la fraction rationnelle f (x) = e ee 4. En utilisant un d´veloppement en s´rie enti`re de e e e
+∞ 1 1−x 1 . 2x2 −7x+3
pour tout x ∈] − 1; 1[, d´duire que e xn ,
f (x) = n=0 2n+1 1 − 5 5 × 3n+1
en pr´cisant pour quelles valeurs de x l’´galit´ a lieu. e e e Exercice 3 D´terminer l’intervalle de convergence et la somme des s´ries enti`res suivantes : e e e (a) (d)
(n+1)(n+2) n x n! (−3)n−1 n n≥2 n(n−1) x n≥0
(b) (e)
n n n≥0 (n+1)(n+2) x 1 n n≥2 2n (n−1) x
(c) (f )
n+1 n n≥0 3n x n2 n n≥0 n! x .
Exercice 4 Donner le d´veloppement en s´rie enti`re de chacune des fonctions suivantes : e e e (a) f (x) = ln x + √ 1 + x2
1+x (b) f (x) = ln 1−x
(c) f (x) = ln(2 + x) (f ) f (x) = cos2 (x).
(d) f (x) = (1 + x)e−x
(e) f (x) =
e−x 1−x
Exercice 5 D´terminer une primitive de la fonction f : x → e en s´rie enti`re de f . e e Exercice 6
x . 9+x2
En d´duire un d´veloppement e e
1. D´terminer le rayon de convergence R de la s´rie enti`re e e e somme. 1
xn n≥2 n2 −1 .
On note S(x) sa
2. Montrer que pour tout x tel que 0 < |x| < 1, on a S(x) = 3. En d´duire que e
1 n≥2 n2 −1 3 = 4.
1 x − 2x 2
ln(1 − x) +
1 x + . 2 4
Exercice 7 Donner la somme de chacune des s´ries suivantes : e (a)
+∞ π 2n+1 n=0