1ière ES

Jeudi 1 avril

Contrôle n°8

Exercice 1 : (10 points) Pierre (le frère jumeau du fumeur Jean) gagne une 100 000 € à un jeu de hasard. Il se dit qu’il va gérer cet argent de la façon suivante : il le place à un taux de 8 % par an et retire chaque année (à la date anniversaire du placement) 12 000 €. On note Un l’agent disponible après n années, et U0 = 100 000. 1. a) Montrer que U1 = 96 000 b) Déterminer U2 et U3 c) Déterminer Un+1 en fonction de Un . 2. On définit la suite (Vn) pour tout n ∈ IN par : Vn = Un – 150 000. a) Montrer que (Vn) est géométrique de raison q = 1,08 et donner son premier terme V0. b) Déterminer le sens de variation de (Vn). b) Ecrire Vn en fonction de n. 3. a) Déduire de ce qui précède Un en fonction de n. b) Calculer U14. c) Déterminer pendant combien d’années le compte de Jean reste créditeur.

Exercice 2 : (6 points) La courbe (C) ci-contre représente une fonction f, dont on a tracé les tangentes aux point A (1 ; 0) et B(2 ; – 1). Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes : 1. Déterminer f(1) et f(2). 2. Déterminer f ’(1) et f ’(2). 3. Déterminer une équation de la tangente en A à (C). 4. Résoudre f(x) = 0 5. Résoudre f ’(x) = 0

Exercice 3 : (4 points) Soit f(x) = 2x² définie sur IR. 1. En calculant une limite, donner f ’(3) 2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 3.

CORRIGE
Exercice 1 : 1. a) U1 = U0 × 1,08 – 12 000 = 96 000 b) U2 = U1 × 1,08 – 12 000 = 91 680 U3 = 87 014,4 c) Un+1 = 1,08 × Un – 12 000 2. a) Vn+1 = Un+1 – 150 000 = (1,08 × Un – 12 000) – 150 000 = 1,08 × (Vn + 150 000) – 162 000 = 1,08 Vn Ainsi (Vn) est géométrique de raison q = 1,08 et de premier terme V0 = – 50 000. b) q > 1 et V0 < 0 implique que (Vn) est décroissante. c) Par propriété : Vn = V0 × 1,08 Soit Vn = – 50 000 × 1,08n 3. a) Alors Un = Vn + 150 000 = 150 000 – 50 000 × 1, 08n b) U14 = 150 000 – 50 000 × 1,0814 ≈ 3 140,3 c) On calcule U15 ≈ – 8 608, et donc on en