Probl`mes de Pratique-Principe de l’induction e 1. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 12 + 22 + . . . + n2 = n(n + 1)(2n + 1) . 6

2. Soit h > −1 un nombre r´el. Montrer l’in´galit´ de Bernoulli: 1 + nh ≤ (1 + h)n pour tout e e e entier n ≥ 0. 3. Montrer que pour tout entier impair n ≥ 1, n2 − 1 est divisible par 8. 4. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, 4n+1 + 52n−1 est divisible par 21. 5. Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on 2n > n3 ? Justifier votre r´ponse. e 6. Consid´rer la suite num´rique d´finie r´cursivement: e e e e f0 = 1, f1 = 1, et fn = fn−1 + fn−2 ∀n ≥ 2. Montrer que fn >
1+ 5 2 √ n−2

∀n ≥ 3.

7. Montrer que n2 ≥ 2n + 3 ∀n ≥ 3. 8. Montrer que 7n − 2n est divisible par 5 ∀n ≥ 0. 9. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 1 3 + 2 3 + . . . + n3 = 10. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 1.1! + 2.2! + . . . + n.n! = (n + 1)! − 1. 11. Consid´rer la suite num´rique d´finie r´cursivement: e e e e a0 = 2, a1 = 1, et an = an−1 + 2an ∀n ≥ 2. Montrer que an = 2n + (−1)n ∀n ≥ 0. 12. Consid´rer la suite num´rique d´finie r´cursivement: e e e e   2 si n est impair 2 an =  a n si n est pair (2) (1) Donner les valeurs des termes a1 , . . . , a8 de la suite. (2) Utiliser le principe d’induction pour montrer que an ≤ 2n ∀n ≥ 1. 13. Montrer que chaque entier n ≥ 2 est le produit de (un ou plusieurs) nombres premiers (un entier p est dit premier si les seuls diviseurs de p sont 1 et p). 14. Montrer que n 2 i=1 (3i

n2 (n + 1)2 . 4

− i) = n2 (n + 1) pour tout entier n ≥ 1.

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