Les limites
Description :
En mathématiques, rechercher la limite d'une suite ou d'une fonction, c'est déterminer si cette suite ou cette fonction s'approche d'une valeur particulière lorsque la variable prend des valeurs extrêmes. Dans cette définition très intuitive, deux notions restent à définir avec précision : la notion de « s'approcher » et celle de « valeur extrême ».
Historiquement, les mathématiques se sont d'abord intéressées aux limites de suites : on cherchait à savoir si, pour les grandes valeurs de l'indice, les termes de la suite se rapprochaient d'une valeur particulière, c'est-à-dire si, à partir d'un certain rang, on était aussi proche que l'on veut de cette valeur particulière. La notion de proximité est liée à une distance qui dans R est définie par la valeur absolue d'une différence, mais cette notion peut se généraliser à tout espace métrique. Plus tard, la notion s'est étendue aux espaces topologiques et « être proche » signifie alors « être dans un voisinage arbitrairement choisi ».
Ensuite est intervenue la notion de limite de fonction, initialement rattachée à la limite de suite. Pour chercher la limite d'une fonction quand la variable s'approche de a, on cherchait à déterminer la limite de la suite (f(un)) pour toute suite (un) dont la limite était a. La complexité de cette approche et la multiplicité des cas ont conduit à définir la notion de limite de fonction indépendamment de celle de limite de suite. Pour pouvoir manipuler la notion de limite et l'exploiter sans erreur, il a été nécessaire de la définir de manière plus précise et plus formelle. C'est ainsi que cet article présente une définition formelle de la limite d'une suite convergente, de la limite d'une fonction à valeurs dans R, la notion de limite infinie, et présente le cas de l'espace métrique et de l'espace topologique. • La suite (1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...) de nombres réels est convergente de limite 0. • La suite (3, 3, 3, 3, 3, ...) est convergente de limite