Baccalauréat, série S – La Réunion, correction
29 juin 2010

Exercice 1
Commun à tous les candidats Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par f (x) = 1 + ln(1 + x). On note C f sa courbe représentative dans un repère orthononnal (O ; ı ; ). On note D la droite d’équation y = x.

6 points

Partie A
1. (a) Sens de variation de la fonction f : f ′ (x) = 1 > 0 sur ] − 1 ; +∞[ 1+x

La fonction f est donc croissante sur (O ; ı ; ) (b) Limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition : x→−1+ x→+∞

lim f (x) = −∞ car lim + 1 + x = 0+ et lim + ln(1 + x) = −∞ x→−1 x→−1 x→+∞ x→+∞

lim f (x) = +∞ car lim 1 + x = +∞ et lim ln(1 + x) = +∞

Tableau de variations de f : x f (x) f (x) −∞
′

−1 +

+∞ +∞

2. On désigne par g la fonction définie sur l’intervalle ] − 1 ; +∞[ par g (x) = f (x) − x. (a) lim g (x) = −∞ : x→−1 x→−1

lim g (x) = lim 1 − x + ln(1 + x) = −∞ car lim + 1 + x = 0+ , lim + ln(1 + x) = −∞ et lim 1 − x = 2 x→−1 x→−1 x→−1 x→−1

(b) x→+∞ lim

ln(1 + x) ln X = 0 car lim 1 + x = +∞ et lim =0 x→+∞ X→+∞ X 1+x 1−x ln(1 + x) 1 − x ln(1 + x) + = 0 et lim = −1 = −∞ car lim x→+∞ 1 + x x→+∞ 1 + x 1+x 1+x

x→+∞

lim g (x) = lim = lim (1 + x) x→+∞ x→+∞

(c) Sens de variation de la fonction g g ′ (x) = f ′ (x) − 1 = 1 −x −1 = du signe de −x sur ] − 1 ; +∞[ 1+x 1+x

La fonction g est donc strictement croissante sur ] − 1; 0[ et strictement décroissante sur ]0; +∞[. Elle possède une tange,nte horizonate au point d’abscisse 0. Tableau de variations de la fonction g : 1

x f ′ (x)

−1 +

α

0 0 1

β −

+∞

f (x) −∞

0

0 −∞

(d) Sur l’intervalle ] − 1 ; 0[, la fonction g est continue, comme somme et composée de fonctions continues, et strictement croissante. Elle réalise donc une bijection de ]−1 ; 0[ sur ]−∞ ; 1[. Or 0 appartient à l’ensemble d’arrivée ] − ∞ ; 1[. Donc, 0 possède un unique antécédent, noté α dans ] − 1 ; 0[. Sur l’intervalle ]0 ; +∞[, la fonction g est continue,