Spéciale PSI – LYCÉE BUFFON

F ICHE – M ÉTHODE

Comment fait-on déjà ?
Équivalent d’un logarithme.
• Lorsque lim f (x) = 0, on a

Analyse 1 – Croissances comparées

ln 1 + f (x)

x→a

V ERSION FONCTIONS

x→a

E XEMPLES :
• ln(1 + ex )

Rappelons ce fameux théorème dit « des croissances comparées » :
T HÉORÈME 1 (Croissances comparées)

• ln(1 + x 3 )

ln x lim =0 x→+∞ x

•

ex
= +∞ x→+∞ x α lim lim x α . ln x = 0 lim |x|α . ex = 0

• (1 + x)

P ROPOSITION 1

• Au voisinage de 0 :

ln x = o x α

ln x = o

1 xα et

x→a

ln(ex ) = x

ln(x 3 ) = 3ln x

E XEMPLES :
• e1+2 ln x = e1 e2 ln x = e .x 2

x→−∞

qui peut se ré-écrire :

Pour α > 0 :
• Au voisinage de +∞ :

ln f (x) ∼ ln g (x).

x→+∞

Équivalent d’une exponentielle.
Rappel : on ne passe jamais un équivalent à l’exponentielle.
« Jamais ?
– Jamais ! »
La bonne façon de faire est d’isoler, dans l’argument de l’exponentielle, les termes qui tendent vers 0 (après un éventuel développement limité) et d’utiliser la relation fondamentale de l’exponentielle : ea+b = ea eb .

x→0+

et

∼

x→+∞

on a

x→+∞

C OROLL AIRE 1 et ∼

x→+∞

x→a

On n’omettra pas de préciser (éventuellement oralement) que lim ex = lim x 3 = +∞

et son corollaire :

Pour α > 0, ln x
=0
• lim x→+∞ x α

∼ f (x)

x→a

• « loguer » un équivalent :
Lorsque f (x) ∼ g (x) et que lim f (x) = 0 ou +∞

1 x2 =e

1 x2 ln(1+x)

= e

1 x2 2

x− x2 +o(x 2 )

x→0

= e

x→0

1 1 x −2

1

+ o(1)

1 x = e e

x→0

−1
2

e

o(1)

∼

x→0

ex

e

Une dernière remarque : utiliser le théorème des croissances comparées alors qu’il n’y a ni logarithme ni exponentielle est une absurdité !

x α = o ex

V ERSION SUITES
Ainsi donc, tout le monde sait que « l’exponentielle l’emporte sur les puissances qui l’emportent sur le logarithme ».

Rappelons que la version "suites" de l’exponentielle