1) Expérimentation
a)
b) Le quadrilatère EFGH peut avoir une nature différente en fonction de la forme du quadrilatère ABCD . c) Il peut être un carré si le quadrilatère ABCD est un carré ou un rectangle si le quadrilatère ABCD est un losange ou encore un losange si le quadrilatère ABCD est un rectangle . 2) Preuve
a) Propriété : Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté du triangle.
Dans le triangle ABD, E et H étant les milieux respectifs de [AB] et de [AD], le segment [EH] est parallèle à [BD]. De plus EH=BD/2
Dans le triangle BDC, F et G étant les milieux respectifs de [BC] et de [DC], le segment [GF] est parallèle à [BD]. De plus GF=BD/2.
Comme [EH]//[BD] et [GF]//[BD], on en déduit que [EH] et [GF] sont eux-même parallèles entre eux.
De la même façon, dans le triangle ABC, on montre que [EF]//[AC] avec EF=AC/2. et dans le triangle ADC, on montre que [GH]//[AC] avec GH=AC/2.
Comme [EF]//[AC] et [GH]//[AC] , on en déduit que [EF] et [GH] sont eux-même parallèles entre eux.
b) Ainsi le quadrilatère EFGH possède les propriétés suivantes :
• [EF]//[HG]
• [FG]//[EH]
Puisque [EH]=[BD]/2 et [GF]=[BD]/2. [EH] et [GF] sont donc de même longueur .
De même puisque [EF]=[AC]/2 et [GH]=[AC]/2. [EF] et [GH] sont donc de même longueur .
Le quadrilatère EFGH est donc un parallèlogramme .
c) Les diagonales du quadrilatère ABCD doivent être de même longueur et doivent se couper en leur milieu (les diagonales d’un rectangle) pour que EFGH soit un losange .
Les diagonales du quadrilatère ABCD doivent être de même longueur , doivent se couper en leur milieu et doivent être perpendiculaires (les diagonales d’un carré ) pour que EFGH soit un carré.
Les diagonales du quadrilatère ABCD doivent se couper en leur milieu et doivent être perpendiculaires (les diagonales d’un losange) pour que EFGH soit un rectangle.
3) Cas particuliers
Lorsque le quadrilatère ABCD est un rectangle le